ALGEBRA

Teorema del residuo

El teorema del residuo nos ayuda a encontrar el residuo que resulta de dividir un polinomio entero y racional entre un binomio de la forma $n x - a$ sin realizar la división.

Un polinomio se dice que es entero si ninguno de sus términos tiene letras en el denominador y es racional si ninguno de sus términos tiene raíz inexacta.

El teorema del residuo nos dice que la división de un polinomio entero y racional entre un binomio de la forma $n x - a$ se obtiene sustituyendo $x$ por $\frac{a}{b}$ , es decir, se iguala a cero el divisor $n x - a$ , se despeja $x$ y se sustituye en el polinomio.

En esta sección contamos con 2 videos, en los cuales resolvemos ejercicios que se presentan comúnmente en este tema. Los ejercicios que se resuelven son los siguientes:

Ejemplos del Teorema del residuo

Encuentra el residuo sin realizar la división de:

$x^{5} - 2 x^{3} + 2 x - 4$ entre $x - 2$ y $x^{4} - 8 x^{2} + 4 x + 1$ entre $2 x + 3$

Encuentra el residuo sin realizar la división de:

$x^{3} - 9$ entre $x + 3$ ;

$a^{2} - 2 a + 3$ entre $a - 1$ ;

$x^{4} - x^{3} + 3$ entre $x - 2$ ;

$n^{4} + n^{3} - n^{2} + 1$ entre $n + 4$

$12 y^{3} - 21 y + 90$ entre $3 y - 3$

Generalmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo.

Considere la función polinomial f ( x ) = x ²– 8 x + 6. Divida el polinomio entre el binomio x – 2.

Podemos realizar la división en cualquier método.

Método 1: División larga

El residuo es -6.

Método 2: División sintética

El residuo es -6.

Ahora compare el residuo de -6 en f (2).

Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio es dividido entre el binomio x – 2. Esto ilustra el teorema del residuo.

Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x – a , el residuo es la constante f ( a ), y , donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que el grado de f ( x ).

En otras palabras, el dividendo es igual al cociente por el divisor mas el residuo.

teorema del residuo

Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x – a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).Por ejemplo, si f(x) = x² + x – 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 2² + (2) – 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:

f(x) = (x-2)(x+3) + 4

Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).

El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 1² + (1) – 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:

f(x) = (x-1)(x+2)

Como se muestra, (x-1) es un factor.