Núneros combinatorios. Los números combinatorios, coefictes binomiales

Números combinatorios.

Los números de combinación se llama número combinatorio m sobre n a la expresión coeficientes binomiales o combinaciones, se definen y denotan como:

\displaystyle C_{m}^{n} = \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \frac{m!}{n! (m - n)!}

en donde $\qquad m \qquad$ y $\qquad n \qquad$ son enteros y $\qquad m \geq n > 0″>. El número combinatorio de arriba se lee como <img decoding=$ sobre $\qquad n$ .

Núneros combinatorios Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes:

Propiedad 1. $\displaystyle \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\ m - n \end{pmatrix}$ Ejemplo $\displaystyle \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} = \frac{5!}{3! 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot \not{3} \cdot \not{2} \cdot \not{1}}{(\not{3} \cdot \not{2} \cdot \not{1})( 2 \cdot 1)} = 10.$ Sin embargo, por la propiedad 1 tenemos que para $\qquad 5 - 3 = 2\qquad$ se cumple que $\displaystyle \begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} = 10$

Propiedad 2. $\displaystyle \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m - 1\\ n - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m - 1\\ n \end{pmatrix}$ Ejemplo. Calculemos $\displaystyle \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}$ Por el ejercicio anterior tenemos $\displaystyle \begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} = 10$ Por lo tanto $\displaystyle \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} = 20$

Propiedad 3. $\displaystyle \begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\ m \end{pmatrix} = 1$ Esto se debe a que $\begin{align*} \begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix} &= \frac{m!}{0! (m - 0)!}\\ &= \frac{m!}{m!}\\ &= 1 \end{align*}$ Animamos al estudiante a que de forma similar, haga el procedimiento que muestre el caso cuando $\qquad n = m$ .

Propiedad 4. $\displaystyle \begin{pmatrix} m\\ 1 \end{pmatrix} = m$ Esto se debe a que $\begin{align*} \begin{pmatrix} m\\ 1 \end{pmatrix} &= \frac{m!}{1! (m - 1)!}\\ &= \frac{m \cdot (m-1) \cdot (m - 2) \cdots 1}{(m-1)\cdot (m - 2) \cdots 1}\\ &= m \end{align*}$

Estas propiedades nos podrán ayudar a realizar cálculos de forma más rápida.

Números combinatorios Propiedades de los números combinatorios

Cada número combinatorio se obtiene en el triángulo de Pascal sumando los dos números combinatorios que tiene sobre él.

Demostración




Demostración:

La suma de todos los números combinatorios de cada una de las filas del triángulo de Pascal, alternando signos positivos y negativos, es igual a 0.

Núneros combinatorios

Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n₁ veces, el segundo se repite n₂ veces … y el último se repite n_k veces, son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación de los elementos. Se representa por PR_nⁿ1^,n2^,…,nk

Ejemplo. Si construimos las permutaciones sin repetición de cinco elementos en las que el número 1 se repite dos veces y el número 2 se repite tres veces:

▪ tenemos que formar grupos de cinco elementos utilizando exactamente dos veces el 1 y tres veces el 2.

▪ los grupos (1,1,1,2,2) y (1,2,1,2,1) son distintos, aunque tienen los mismos elementos, están colocados en distinto orden.

Números combinatorios Construcción

Para construir las permutaciones con repetición, utilizamos el diagrama de árbol.

En la siguiente escena aparecen construidas las permutaciones con repetición desde 1 hasta 6 elementos, con todas las posibilidades de repetición de cada uno.

Con los elementos del conjunto A={p, q}, construir todas las permutaciones con repetición de cinco elementos en las que el primer elemento se repite dos veces y el segundo tres veces. Con los elementos del conjunto A={a, b, c}, construir todas las permutaciones con repetición de seis elementos en las que cada elemento se repite dos veces.

Núneros combinatorios Fórmula

El primer elemento se repite n₁ veces. Si en lugar de repetirse fueran elementos distintos, daría lugar, para cada una de las permutaciones con repetición, a n₁! permutaciones.

El segundo elemento se repite n₂ veces. Si en lugar de repetirse fueran elementos distintos, daría lugar, para cada una de las permutaciones con repetición, a n₂! permutaciones.

El último elemento se repite n_k veces. Si en lugar de repetirse fueran elementos distintos, daría lugar, para cada una de las permutaciones con repetición, a n_k! permutaciones. Entonces, si todos los elementos fuesen distintos, se obtendrían todas las permutaciones de n elementos:

PR_nⁿ1^,n2^,…,nk · n₁!·n₂! · · · n_k!= P_n = n!

De esta expresión se puede deducir una fórmula para calcular el número de permutaciones con repetición:

Con la escena siguiente se puede calcular el número de permutaciones con repetición para cualquier valor de n, admitiendo hasta un máximo de siete elementos que se repitan cualquier número de veces.

Calcular: a) PR₇^2,5 b) PR₉^3,3,3 c) PR₁₀^1,2,3,4 d) PR₁₄^7,7e) PR₁₇^2,3,5,7 f) PR₂₁^1,2,3,4,5,6

Ejemplos

En clase hay 14 alumnas y 10 alumnos. ¿De cuántas formas pueden salir a la pizarra si sólo se tiene en cuenta si es alumna o alumno?

¿Se puede resolver cualquier ejercicio de permutaciones con repetición utilizando el principio de multiplicación?

Núneros combinatorios

Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por C_m,n. (n≤m).

Ejemplo. Si con los elementos del conjunto A={1,2,3,4} construimos las combinaciones sin repetición de orden tres:

▪ los grupos (1,2,3) y (1,2,4) son distintos porque tienen un elemento distinto

▪ los grupos (1,2,3) y (3,2,1) son iguales porque tienen los mismos elementos aunque estén colocados en distinto orden

▪ el grupo (1,1,2) no es válido porque tiene elementos repetidos.

Para construir las combinaciones sin repetición, utilizamos el diagrama de árbol.

En la siguiente escena aparecen construidas las combinaciones sin repetición con los «m» primeros números naturales (según el valor de m), de orden desde 1 hasta 6 (según el valor de n)

Con los elementos del conjunto A={a, b, c, d, e, f}, construir todas las combinaciones sin repetición de orden 4.

Con los elementos del conjunto A={1, 3, 5, 7, 9}, construir todas las combinaciones sin repetición de orden 3.

Núneros combinatorios Fórmula

En las combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, al cambiar los elementos de orden se obtiene el mismo grupo. En las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, al cambiar los elementos de orden se obtiene un grupo distinto.

Si para cada una de las combinaciones sin repetición de orden n (C_m,n), se cambian de orden los n elementos (P_n), se obtienen las variaciones sin repetición de orden n (V_m,n), es decir:

C_m,n· P_n = V_m,n

Núneros combinatorios

De esta expresión se puede deducir una fórmula para calcular el número de combinaciones sin repetición:

Con la escena siguiente se puede calcular el número de variaciones sin repetición para cualquier valor de m y n.

Calcular: a) C_13,5 b) C_9,7 c) C_11,3 d) C_25,2e) C_21,6 f) C_16,4 g) C_8,8

Ejemplos

En una clase hay 14 alumnas y 10 alumnos. Hay que elegir a cinco personas para realizar un trabajo.

a) ¿De cuántas formas se pueden elegir las cinco personas?

b) ¿De cuántas formas se puede hacer si hay que elegir a tres alumnas y dos alumnos?

¿Se puede resolver cualquier ejercicio de combinaciones sin repetición utilizando el principio de multiplicación?

Núneros combinatorios

Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CR_m,n.

Ejemplo. Si con los elementos del conjunto A={1,2,3,4} construimos las combinaciones con repetición de orden tres:

▪ los grupos (1,2,3) y (1,2,4) son distintos porque tienen un elemento distinto.

▪ los grupos (1,2,3) y (3,2,1) son iguales porque tienen los mismos elementos aunque estén colocados en distinto orden.

▪ el grupo (1,1,2) es válido porque los elementos se pueden repetir.

Para construir las combinaciones con repetición, utilizamos el diagrama de árbol.

En la siguiente escena aparecen construidas las combinaciones con repetición con los «m» primeros números naturales (según el valor de m), de orden desde 1 hasta 6 (según el valor de n).

Con los elementos del conjunto A={x, y, z}, construir todas las combinaciones con repetición de orden 3.

Con los elementos del conjunto A={2, 4, 6, 8}, construir todas las combinaciones con repetición de orden 2.

Núneros combinatorios

Observando la forma de construir las variaciones sin repetición con el diagrama de árbol, se puede deducir, para un conjunto de m elementos, que:

De orden uno. Hay m combinaciones. CR_m,1 = m.

De orden dos. Se obtienen añadiendo a cada combinación de orden uno, el mismo elemento y todos los siguientes. Es igual que construir las combinaciones sin repetición con un elemento más. CR_m,2 = C_m+1,2.

De orden tres. Se obtienen añadiendo a cada combinación de orden dos, el segundo elemento y todos los siguientes. Es igual que construir las combinaciones sin repetición con un elemento más. CR_m,3 = C_m+2,2.

Y así se podría continuar:

CR_m,4= C_m+3,4

CR_m,5= C_m+4,5

A partir de estas fórmulas es fácil deducir la siguiente fórmula para calcular el número de combinaciones con repetición CR_m,n.

Con la escena siguiente se puede calcular el número de combinaciones con repetición para cualquier valor de m y n.

Calcular: a) CR_7,4 b) CR_4,7 c) CR_6,6 d) CR_13,3e) CR_15,5 f) CR_16,8 g) CR_20,19

Un profesor elige al azar a un alumno o alumna para salir a la pizarra a resolver un ejercicio. Después vuelve a repetir el mismo procedimiento para corregir un segundo ejercicio, sin excluir a la persona que ha salido anteriormente, pero con la condición de que la segunda persona no sea anterior a la primera en orden alfabético. ¿Cuántas posibilidades hay para corregir los dos ejercicios si la clase hay 24 personas entre alumnos y alumnas?

¿Se puede resolver cualquier ejercicio de combinaciones con repetición utilizando el principio de multiplicación?

Números combinatorios

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