ALGEBRA

Multiplicación algebraica (multiplicaciones sucesivas)

Multiplicación rusa. Para aplicarlo, se hace una columna con los sucesivos divisores enteros por 2 del multiplicando. Es decir, 635 entre 2 da 317 con resto 1 (es una división entera). Para este método los restos nos dan igual. Esto lo hacemos sucesivamente hasta llegar al uno. En nuestro ejemplo, la primera columna está compuesta por los elementos 635, 317, 158, 79, 39, 19, 9, 4, 2, 1. En la segunda columna colocamos el multiplicador, y vamos doblándolo sucesivamente de la misma manera que hemos hecho en el método anterior, hasta tener tantos elementos como en la primera columna. Se desechan las filas que tienen un número par en la primera columna, y se suman los que quedan en la segunda columna. Los sumandos, en nuestro ejemplo, puede verse que son los mismos que en el método anterior, y el resultado vuelve a ser

Multiplicación algebraica (multiplicaciones sucesivas)

Multiplicación algebraica (multiplicaciones sucesivas). Multiplicación algebraica (multiplicaciones sucesivas) Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar. Se efectúa lamultiplicación de dos factores cualquiera.

Producto continuado de polinomios.

Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar.

Procedimiento

Se efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera.

Se multiplica el resultado de la operación anterior con el tercer factor y así se sigue sucesivamente.

Ejemplo:

z(5 – z)(z + 2)(z – 9)

Lo desarrollaremos de dos maneras:

Primera forma (factor por factor)

Segunda forma (multiplicaciones simultáneas)

Supresión de signos de agrupación con productos indicados

Cuando un signo de agrupación tenga coeficiente que no sea 1 (que se sobre entiende si no tiene coeficiente), hay que multiplicar todos los términos encerrados en ese signo de agrupación por ese coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y se suprime dicho signo de agrupación.

Ejemplo:

-(x + y)[-3(a + 3b + 7)] = (- x – y)(- 3a – 9b – 21)

Luego puede efectuarse la multiplicación indicada

Producto de un polinomio por un monomio

En esta clase vamos a ver la multiplicación de polinomios.

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica por dicho monomio cada uno de los monomios del polinomio.

Producto de un polinomio por un monomio

Ejemplo:

$p (x) = 2 x^{2} + 3$

$a (x) = 2 x$

$p (x) \cdot a (x) = (2 x^{2} + 3) \cdot 2 x = 2 x^{2} \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x = 4 x^{3} + 6 x$ El grado del producto de un polinomio por un monomio es igual a la suma de los grados de los factores

Grado de un polinomio por un monomio

Producto de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por el otro polinomio y se suman los polinomios restantes.

Existen dos formas en las que podemos multiplicar dos polinomios:

1. En columna

2. En fila

Multiplicación de polinomios en columna

Para multiplicar dos polinomios en columna, seguiremos estos pasos:

1. Colocamos los polinomios uno debajo del otro.

2. Multiplicamos cada monomio del polinomio situado más abajo por cada uno de los monomios del otro polinomio, colocando los monomios de igual grado en la misma columna.

Ejemplo:

$p (x) = 2 x^{2} + 3$

$q (x) = x + 1$

$2 x^{2} + 3$

$x + 1$

___________________________

$2 x^{2} + 3$

$2 x^{3} + 3 x$

___________________________

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 3$

Multiplicación de polinomios en fila

Para multiplicar polinomios en fila se multiplica cada monomio de uno de los polinomios por todos los monomios del otro polinomio.

Ejemplo:

$p (x) = 2 x^{2} + 3$

$q (x) = x + 1$

$p (x) \cdot q (x) = (2 x^{2} + 3) \cdot (x + 1) = 2 x^{2} \cdot (x + 1) + 3 \cdot (x + 1) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 3$ El grado del producto de dos polinomios es igual a la suma de los grados de los factores

Grado del producto de dos polinomios

Propiedades del producto de polinomios

Las propiedades del producto de polinomios son las siguientes:

Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Elemento neutro
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

Propiedad conmutativa del producto de polinomios

La propiedad conmutativa del producto de polinomios nos dice que el orden de los factores no altera el producto

Propiedad conmutativa del producto de polinomios

Esto significa que cuando tengamos que multiplicar dos polinomios, podemos multiplicarlos en el orden que queramos.

Ejemplo:

$p (x) = 2 x^{2} + 3$

$q (x) = x + 1$

$\begin{array}{rcl} p (x) \cdot q (x) & = & (2 x^{2} + 3) \cdot (x + 1) \\ = & 2 x^{2} \cdot (x + 1) + 3 \cdot (x + 1) \\ = & 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 3 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} q (x) \cdot p (x) & = & (x + 1) \cdot (2 x^{2} + 3) \\ = & x \cdot (2 x^{2} + 3) + 1 \cdot (2 x^{2} + 3) \\ = & 2 x^{3} + 3 x + 2 x^{2} + 3 \\ = & 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 3 \end{array}$

Propiedad asociativa del producto de polinomios

La propiedad asociativa del producto de polinomios dice que cuando tengamos más de dos polinomios que se están multiplicando, podemos asociarlos de la manera que queramos

Propiedad asociativa del producto de polinomios

Ejemplo:

$p (x) = 2 x^{2} + 3$

$q (x) = x + 1$

$r (x) = 2 x - 1$

$\begin{array}{rcl} [p (x) \cdot q (x)] \cdot r (x) & = & [(2 x^{2} + 3) \cdot (x + 1)] \cdot (2 x - 1) \\ = & (2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 3) \cdot (2 x - 1) \\ = & 4 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{3} - 2 x^{2} + 6 x^{2} - 3 x + 6 x - 3 \\ = & 4 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 3 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} p (x) \cdot [q (x) \cdot r (x)] & = & (2 x^{2} + 3) \cdot [(x + 1) \cdot (2 x - 1)] = (2 x^{2} + 3) \cdot (2 x^{2} - x + 2 x - 1) \\ = & (2 x^{2} + 3) \cdot (2 x^{2} + x - 1) \\ = & 4 x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + 6 x^{2} + 3 x - 3 \\ = & 4 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 3 \end{array}$

Entonces $[p (x) \cdot q (x)] \cdot r (x) = p (x \cdot [q (x) \cdot r (x)]$

Elemento neutro del producto de polinomios

Para la multiplicación de polinomios existe elemento neutro, que es el polinomio en el que cada uno de sus términos es cero, excepto el término independiente, que es 1

Elemento neutro del producto de polinomios $= u (x) = 1 + 0 x + 0 x^{2} + 0 x^{3} + \dots = 1$

Elemento neutro del producto de polinomios

Esto significa que si multiplicamos cualquier polinomio por 1, el resultado da el mismo polinomio.

Ejemplo:

$p (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - x + 3$

$p (x) \cdot 1 = (2 x^{3} + 2 x^{2} - x + 3) \cdot 1 = 2 x^{3} + 2 x^{2} - x + 3 = p (x)$

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

Propiedad distributiva del producto de polinomios

Cuando tengamos un polinomio multiplicando a una suma o resta de polinomios, podemos aplicar la propiedad distributiva

Ejemplo:

$p (x) = 2 x^{2} + 3$

$q (x) = x + 1$

$r (x) = 2 x - 1$

$\begin{array}{rcl} p (x) \cdot [q (x) + r (x)] & = & (2 x^{2} + 3) \cdot [(x + 1) + (2 x - 1)] \\ = & (2 x^{2} + 3) \cdot (3 x) \\ = & 6 x^{3} + 9 x \end{array}$

$\begin{array}{rcl} p (x) \cdot q (x) + p (x \cdot r (x) & = & [(2 x^{2} + 3) \cdot (x + 1)] + [(2 x^{2} + 3) \cdot (2 x - 1)] \\ = & (2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 3) + (4 x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 3) \\ = & 6 x^{3} + 9 x \end{array}$

Entonces $p (x) \cdot [q (x) \pm r (x)] = p (x) \cdot q (x) \pm p (x) \cdot r (x)$

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