Movimiento circular

Movimiento circular

Movimiento circular. Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes. El primer caso se da cuando la aceleración y la velocidad son perpendiculares, cosa que sucede en el movimiento circular uniforme (o helicoidal uniforme). El segundo caso se da en un movimiento rectilíneo. En cualquier otro tipo demovimiento en general la fuerza y la aceleración no serán permanentemente paralelas.

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Posición angular, q

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo q, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia rq=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, w

En el instante t’ el móvil se encontrará en la posición P’ dada por el ángulo q ‘. El móvil se habrá desplazado Dq=q ‘ –q en el intervalo de tiempo Dt=t’-t comprendido entre t y t’.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Aceleración angular, a

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t’ la velocidad angular del móvil es w. La velocidad angular del móvil ha cambiado Dw=w‘ –w en el intervalo de tiempo Dt=t’-t comprendido entre t y t’.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento q –q0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

                            circular_3_3.gif (1994 bytes)

Hallamos la posición angular q  del móvil en el instante t, sumando la posición inicial q0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva w-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 t, a partir de un registro de la velocidad angular w en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad w –w0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad w –w0 es el área bajo la curva a – t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad angular w –w0, y el valor inicial w0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular w en el instante t.

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular w  es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular q  del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

q –q0=w(t-t0)

o gráficamente, en la representación de w en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración a es constante.

Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular w –w0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad angular en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento q –q0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación  y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0

.

Como introducción vamos a plantear problemas de encuentro entre dos vehículos en movimiento rectilíneo para que podamos compararlos con los encuentros que tienen lugar cuando los vehículos se mueven en una trayectoria circular.

 

Encuentro de dos vehículos en movimiento rectilíneo

Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s2. En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos

Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los vehículos

x1=15·t
x2=
1.5t2/2

La posición de encuentro x1=x2 da lugar a la ecuación de segundo grado

0.75t2-15t=0

cuyas soluciones son t=0, y t=20.

El instante de encuentro es  te=20s, y la posición de encuentro xe=300 m medida desde la salida.

Solución gráfica

  • Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul.
  • Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una parábola)

El punto de intersección señala el instante te de encuentro y la posición xe de encuentro.

Veamos ahora este otro problema algo más complejo

Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que se encuentran

Cuando el primer proyectil lleva un tiempo t>2 moviéndose, el segundo proyectil lleva un tiempo t-2 en el aire. Las ecuaciones del movimiento serán:

x1=50·t-9.8t2/2
x2=
80(t-2)9.8(t-2)2/2

El instante y la altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la ecuación de te=3.62 s, xe=116.8 m

Solución gráfica

  • Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la curva de color azul.
  • Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo

El punto de intersección señala el instante te de encuentro y la posición xe de encuentro.

Problema de encuentro de dos vehículos en movimiento circular

Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero, está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -p/6 rad/s2. Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular:

    • El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez

Veamos el movimiento antes de explicar el planteamiento del problema

Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme

El móvil sale del origen en el instante t=0.

aA=0
wA=
2p
q
A=2p t

Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado

El móvil sale de la posición p/2 en el instante t=2s.

Encuentros

Los encuentros no solamente se obtienen igualando las posiciones de ambos móviles qA=q B, sino también y por ser la trayectoria circular, aquellas cuya posición se diferencia en una circunferencia completa.

qA+2kp =qB con k=0, ± 1, ± 2, ± 3…

Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo

t qA qB
2 4p (2 vueltas) p /2 Sale el móvil B
2.5 5p (4p +p ) 2.48p (2p +0.48p ) B detrás de A
2.6 5.2p (4p +1.2p ) 2.87p (2p +0.87p ) B detrás de A
2.7 5.4p (4p +1.4p ) 3.26p (2p +1.26p ) B detrás de A
2.8 5.6p (4p +1.6p ) 3.64p (2p +1.64p ) B delante de A

Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 2.7 y 2.8. El momento en el que se produce el primer encuentro será un instante t a determinar en el intervalo de tiempo comprendido entre 2.7 y 2.8 s.

La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es

qA2p =qB

Despejando el tiempo t en la ecuación de segundo grado, obtenemos el instante del primer encuentro t=2.77 s.

Introduciendo t en la ecuación de la posición de A y de B obtenemos la posición de los móviles en el instante del encuentro

qA=5.56rad
qB
=3.56rad

Encuentros de dos vehículos en movimiento circular

El applet que hemos presentado a principio de la página solamente sirve para describir el enunciado del problema. Podemos usar el applet que viene a continuación para resolver cualquier problema de encuentros en general.

Ecuaciones del movimiento del primer cuerpo

Ecuaciones del segundo cuerpo

donde t0 es el tiempo que tarda el segundo móvil en inicial el movimiento

La particularidad del applet es que en los controles de edición no solamente se pueden introducir números, sino también fracciones del número p. Por ejemplo si la velocidad de un móvil es:

      • p/2se introduce pi/2.
      • 3p/2introducimos 3*pi/2 o bien, 3pi/2.
      • pintroducimos pi o PI.

El programa convierte el texto en un número decimal de doble precisión.

Se introduce

Para el primer móvil (color rojo)

      • La posición angular inicial θ01 de partida en el instante t=0, en el control de edición titulado posición
      • La velocidad angular inicial ω01 en el instante t=0, en el control de edición titulado velocidad
      • La aceleración angular α1, en el control de edición titulado aceleración

Para el segundo móvil (color azul)

      • La posición angular inicial θ02 de partida en el instante t=t0, en el control de edición titulado posición
      • La velocidad angular inicial ω02 en el instante t=t0, en el control de edición titulado velocidad
      • La aceleración angular α2, en el control de edición titulado aceleración

El tiempo t0, en el control de edición titulado tiempo de retraso

Finalmenteel intervalo de tiempo entre dos posiciones consecutivas de cada uno de los móviles en el área de trabajo del applet.

 

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