La teoría de la relatividad especial

La teoría de la relatividad especial

La teoría de la relatividad especial, formulada por Albert Einstein en 1905, constituye uno de los avances científicos más importantes de la historia. Alteró nuestra manera de concebir el espacio, la energía, el tiempo y tuvo incluso repercusiones filosóficas, eliminando la posibilidad de un espacio/tiempo absoluto en el universo.

Se complementa con la teoría de la relatividad general, publicada en 1915, algo más compleja y que pretende aunar la dinámica newtoniana con parte de las consecuencias de la primera teoría especial.

Con la teoría de la relatividad especial, la humanidad entendió que lo que hasta ahora había dado por sentado que era una constante, el tiempo, era en realidad una variable. No sólo eso, sino que el espacio también lo era y que ambos dependían, en una nueva conjunción espacio-tiempo, de la velocidad.

Luis Álvarez-Gaumé, director del grupo de física teórica del CERN, nos explica en conversación telefónica:

Lo más importante es entender cómo el tiempo depende, en realidad, del movimiento, de la velocidad. Eso fue lo que lo cambió todo.

Einstein se basó a su vez en dos hipótesis:

  1. Las leyes de la física son las mismas mientras el sistema de referencia sea el mismo e inercial. Esto es, ambos se mueven a una velocidad constante. Si una ley se cumple en un sistema, también se debe cumplir en el otro.
  2. La velocidad de la luz es una constante universal, que se define como c. Que era constante lo habían demostrado algunos años antes otros dos grandes científicos, Michelson y Morley.

a) La relatividad de la mecánica 

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

La rama de la física que estudia como las masas responden a las fuerzas que actuan sobre ellas y a su movimiento, se denomina mecánica. Newton desarrollo en el siglo XVII esta rama de la física a partir de contribuciones hechas anteriormente por Galileo. Las leyes de la mecánica, tienen implícito un principio de relatividad. Este dice que no existe ningún experimento mecánico que pueda revelar el estado de movimiento de un observador. Este solo puede medir su movimiento relativo a otro observador u otro objeto. No puede decir que se mueve a tal o cual velocidad en términos absolutos. Einstein extendió este principio de relatividad de la mecánica a toda la física cuando dijo que ningún experimento, no solo mecánico puede determinar un estado de movimiento absoluto. Su gran salto fue afirmar, el movimiento absoluto no existe.

b) La relatividad de la electricidad y el magnetismo.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

La electricidad es un fenómeno de la naturaleza asociado con pedazos de materia cargadas positiva o negativamente. Este fenómeno se manifiesta porque entre dichos pedazos de materia cargada se ejerce una fuerza de atracción o repulsión. Cuando las cargas están en reposo hablamos de electricidad estática, mientras que si están en movimiento las denominamos corriente eléctrica. Al frotar un vidrio con un trapo y luego acercarlo a un papel tendremos un ejemplo de electricidad estática, mientras que del enchufe de la pared lo que obtenemos es una corriente eléctrica que esta producida por cargas en movimiento.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

El magnetismo por otro lado, es una propiedad que tienen algunas substancias (especialmente el hierro), que se manifiesta también por una fuerza de atracción o repulsión, sobre substancias similares. La experiencia común que tenemos de este fenómeno es la observada con los imanes, los cuales interpretamos están rodeados de energía magnética que produce estas atracciones y repulsiones. Esta energía magnética es lo que se denomina el campo magnético del imán.
Al comienzo del siglo XIX, los científicos descubrieron que estas fuerzas estaban relacionadas de la siguiente manera: una corriente eléctrica en una cable produce a su alrededor un campo magnético, y viceversa un imán que se mueve en el interior de un cable enrollado (bobina) genera en el mismo una corriente eléctrica. Es decir, cargas eléctricas en movimiento generan magnetismo, mientras que imanes en movimiento generan corriente eléctrica.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

A partir de que se conoció esta inter-relación, comenzó a denominarse a estos fenómenos electromagnéticos.
Lo que observaron los científicos de esta época, era que existía un principio de relatividad en el electromagnetismo, ya que los movimientos, sea de las cargas como de los imanes, para que produjeran campos magnéticos o eléctricos, eran movimientos relativos entre las partes con las que se hacia el experimento.
Esto se puede apreciar bien en el caso del imán que se mueve en el interior de una bobina. Es exactamente lo mismo dado que produce el mismo resultado que el imán se mueve en una dirección mientras la bobina esta quieta, como que la bobina se mueva en la dirección contraria mientras el imán esta quieto. Siempre que las velocidades relativas en ambos casos sean iguales, la corriente eléctrica que se genera será de la misma intensidad.
Luego vemos que haciendo este experimento solo podemos comprobar el estado de movimiento relativo entre la bobina y el imán, pero no sabemos cual de los dos es el que en realidad se esta moviendo.
Sin embargo no todo el electromagnetismo se ajustaba al principio de relatividad como veremos luego.

c) El descubrimiento de la luz como fenómeno electromagnético.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

Maxwell en 1865, demostró matemáticamente que los imanes y las corrientes eléctricas podían producir ondas viajeras de energía eléctrica y magnética. Ondas que se movían en el espacio por sus propios medios, sin que los imanes o los cables intervinieran en este viaje. Una onda electromagnética como toda onda, transmite energía que se manifiesta como fuerzas eléctricas y magnéticas que se mueven a través del espacio. Estas ondas son invisibles, solo podemos apreciar sus consecuencias. Son campos eléctricos y magnéticos que se trasladan en la dirección del movimiento perpendicular a esta (la dirección) y perpendicularmente entre ellos. Es decir si graficamos tres ejes coordenados X, Y y Z, si la onda electromagnética se traslada en la dirección de Z, los campos eléctricos y magnéticos lo harán en la dirección de X e Y, o alternativamente de Y y X. Maxwell calculo matemáticamente la velocidad de traslación de estas ondas electromagnéticas y encontró que la misma era igual a la velocidad de la luz cuya magnitud ya había sido calculada en el pasado. A raíz de este descubrimiento, Maxwell propuso que la luz era una onda viajera de energía electromagnética, que viaja a través del espacio vacío a una velocidad finita cercana a los 300.000 km/seg.

Veamos mas en detalle el razonamiento de Maxwell:

  •  Una carga eléctrica tiene asociada a ella un campo eléctrico E. Su existencia sirve para indicar que toda carga eléctrica colocada en la influencia de dicho campo, experimentara sobre ella una fuerza de determinada magnitud y en determinada dirección.
  • Si una carga eléctrica se mueve (esto es lo que conocemos como corriente eléctrica), se genera un campo magnético B, cuyo significado es la indicación de que toda carga en movimiento colocada en la influencia de dicho campo magnético experimentara una fuerza cuya magnitud y dirección diferirán de la que experimentaba por la acción del campo eléctrico.
  • Dado que lo que realmente cuenta en materia de movimiento, son los movimientos relativos de las cargas respecto a los campos, podemos deducir que tendremos el mismo efecto anterior si sobre una carga en reposo actúa un campo magnético variable.
  • Ahora bien si sobre una carga en reposo detectamos una fuerza, significa que la misma esta dentro de la influencia de un campo eléctrico.
  • Por esto Maxwell concluye que un campo magnético variable, crea un campo eléctrico.
  • La reciproca también se comprueba y así Maxwell también establece que un campo eléctrico variable produce un campo magnético.
  • Si el campo magnético B varia en forma constante, el campo eléctrico E generado será también constante, y viceversa campos magnéticos que varían en forma no constante, generan campos eléctricos también no constantes.
  • Así nos encontramos con una suma de efectos, campos magnéticos variables generan campos eléctricos variables, que a su vez generan mas campos magnéticos variables que a su vez generan campos eléctricos variables, y así siguiendo.
  • Maxwell demostró que estos campos eléctricos y magnéticos variables que se recrean constantemente uno al otro, se propagan en el espacio a una velocidad definida y calculada c, que resulta igual a la velocidad de la luz.

d) El experimento de Michelson y Morley.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

Estos científicos en el año 1881 realizaron un experimento para intentar encontrar un estado de reposo absoluto, basándose en que la luz es una onda con velocidad definida. Vemos como el tema de la época era poder encontrar un sistema de referencia absoluto, porque todos los desarrollos de Newton requerían de este concepto. A pesar de lo que hasta ahora se había concluido, los científicos no se convencían de la no existencia de estados absolutos de movimiento o reposo. El descubrimiento de que la luz era una onda electromagnética, hacia pensar que debía existir un medio a través del cual la onda pueda viajar. Esto surgía como analogía de otras ondas, el sonido requiere el aire para trasladarse, las ondas acuáticas el agua. Por definición, para que haya onda debía haber un medio material donde propagarse. Como la luz se mueve por todo el universo-así es que vemos las estrellas- este medio debía ser tal que estuviera en todos lados. Podía entonces utilizarse el mismo como referencia de movimientos absolutos. A este medio se lo conocía como éter. Para ver como calcular movimientos absolutos a partir de los movimientos relativos, veamos una analogía: Supongamos que estamos en un bote en el medio del agua. Si quisiéramos saber a que velocidad se mueve el bote respecto del medio, deberíamos en primer lugar generar ondas en el agua. Las mismas se alejaran de nosotros a una cierta velocidad que podemos calcular contando las crestas por unidad de tiempo transcurrido. Esta velocidad variara según sea que el bote este en reposo o en movimiento, y en que dirección, dado que la velocidad con que se alejan las ondas será mayor en la dirección opuesta al movimiento y menor en la dirección del movimiento. Si llamamos U a la velocidad de las ondas, y V a la velocidad del bote respecto al agua, la cual no conocemos, una vez que determinamos la dirección del movimiento del bote que es aquella donde la velocidad medida de las ondas será menor; sabemos que la velocidad que medimos será U+V para las ondas que se alejan de nosotros hacia atrás de la dirección de movimiento del bote y U-V la de sentido contrario. Es decir que si hacemos la siguiente operación podremos obtener la velocidad del bote respecto al agua V:
(U+V)-(U-V)=2V

De la resta de ambas dividido 2 obtendremos la velocidad V del bote respecto del medio agua.
Michelson y Morley intentaron medir la velocidad de la tierra respecto al éter con un sistema similar. La analogía es que la tierra es el bote, el éter es el agua, y las olitas son reemplazadas por la luz. Lo que hicieron fue medir la velocidad de dos rayos de luz perpendiculares, uno que viajaba en la dirección de la rotación de la tierra alrededor del sol, y otro perpendicular a este. El experimento partía de un mismo haz de luz que se separaba en direcciones perpendiculares hacia sendos espejos situados a la misma distancia del lugar de separación. En estos espejos se reflejaban volviendo a juntarse nuevamente. Su razonamiento era que el rayo que se mueve en la dirección del movimiento de la tierra, como en el caso del bote en el agua, tendrá al encontrarse con el otro rayo, una velocidad relativa diferente, dado que el espejo en el caso del rayo perpendicular al movimiento de la tierra, siempre mantiene la misma distancia de recorrido. Al tener velocidades relativas diferentes se produciría un desfasaje en los rayos que se manifestaría mediante un fenómeno de interferencia. Este desfase, conociendo el valor de la velocidad de la luz permitiría calcular cuanto había recorrido la tierra respecto al éter y por ende su velocidad. Para su sorpresa, no encontraron nunca diferencias en la velocidad de la luz, es decir nunca se produjo una interferencia, sin importar en que dirección respecto al movimiento de la tierra la midieran.
Las dudas de los científicos fueron aclaradas por Einstein quien dijo una verdad de perogrullo, pero que nadie se animaba a decir. Einstein dijo que esta velocidad no se podía determinar porque el tal «viento de éter» no existe y que las ondas electromagnéticas no necesitan de un medio para trasladarse, sino que lo pueden hacer en el vacío, hasta aquí dijo lo que se observaba. Pero también dijo algo mas extraño, que la velocidad de la luz es invariante, y que la misma no esta afectada por la velocidad del observador que la mide o de la fuente que la emite, esto daba por tierra a un concepto muy arraigado en nuestro sentido común que es el de la composición de velocidades relativas.

e) Transformadas galileanas y transformadas de Lorentz 

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

El titulo suena complejo pero es importante entrar en este tema para entender mejor el razonamiento de Einstein. Algunas ideas que aquí expondré serán repetidas pero sirve para aclarar mas el estado de la situación de la ciencia en el momento que Einstein saca sus postulados.
Se llaman transformadas galileanas, a un conjunto de ecuaciones que conectan sistemas de referencia en movimiento relativo uniforme, a estos sistemas de referencia se los denomina inerciales por estar en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme entre si. Pensemos en un sistema S fijo y un sistema S’ que se mueve a la velocidad V respecto de S en la dirección del eje x.

Un punto P al que denominamos un evento, se identifica por medio de tres valores (coordenadas) que lo ubican en el espacio y un valor (coordenada) que lo ubica en el tiempo cuando el evento sucedió. Estos valores de las coordenadas son conocidos como: x, y, z, t en el sistema S. También, debe haber valores equivalentes en el otro sistema S’ que se mueve respecto a S, los cuales estarán relacionadas con las del sistema S. Las ecuaciones que relacionan cada una de estas coordenadas son las que ahora llamamos transformadas galileanas; y son las siguientes:
x’ = x-V.t
y’= y
z’= z
t’=t

Desde la época de Galilelo, existía un principio conocido como principio de relatividad, que dice que las leyes de la naturaleza tienen la misma forma matemática en todos los sistemas de referencia inerciales.

Las ecuaciones que se utilizaban para expresar o mejor transformar las leyes de la mecánica entre los diferentes sistemas inerciales, eran las transformadas galileanas que mostramos antes.

Cuando Maxwell desarrollo las leyes del electromagnetismo, surgió un conflicto entre las soluciones matemáticas de las ecuaciones de Maxwell y las transformadas galileanas . Las soluciones matemáticas de las ecuaciones de Maxwell daban origen a ondas que viajan en el espacio vacío a la velocidad de la luz, que como ya dijimos a esta altura se había calculado su valor con precisión. Esto es lo que le hizo decir a Maxwell que la luz era una onda electromagnética. Esta velocidad que surgía a partir de la resolución de las ecuaciones era para cualquier sistema de referencia, es decir era un invariante.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

El problema que mencionamos surge porque ahora parecía que en el electromagnetismo las transformadas galileanas no eran validas, dado que en el sistema de referencia S’ relacionado con el sistema S a través de las transformadas galileanas, la velocidad de la onda en su componente x, debía resultar ser U’x=c-V, donde c es la velocidad de la onda y V recordemos que es la velocidad de S’ respecto a S.
Sin embargo la resolución matemática de las ecuaciones de Maxwell como dijimos daba que U’x= c.
Lo primero que se dijo para encontrar una salida a este conflicto, fue considerar que las ondas de luz se propagaban respecto a un medio denominado éter; de esta manera se decía que las ecuaciones de Maxwell eran validas solamente en el sistema de referencia en reposo absoluto del éter. Para otros sistemas que se movieran respecto del éter la velocidad de la luz cambiaria de acuerdo a lo que expresan las transformadas galileanas.
Entonces si existía un sistema de reposo absoluto dado por el éter, fue cuando Michelson y Morley intentaron hacer su experimento para determinar la velocidad de la tierra respecto al éter y concluyeron que la luz siempre se mueve a la misma velocidad independiente del sistema de referencia en el cual se la mida.
Este dato acerca de la velocidad de la luz constante, es lo que a Einstein le hace repensar el concepto que tenemos del espacio y del tiempo.

Las transformadas galileanas son incorrectas pero dan un resultado correcto cuando hablamos de velocidades dentro de nuestras experiencias cotidianas. Solo a altas velocidades cercanas a la de la luz parecería ser que dichas transformaciones no son correctas y que se debían encontrar otras.
Estas transformaciones existen y son las denominadas transformadas de Lorentz.

f) Deducción de las transformadas de Lorentz 

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

La deducción de estas la podemos hacer teniendo en cuenta dos cosas, por un lado deben ser tales que a velocidades bajas estas ecuaciones se deben convertir en transformadas galileanas, ya que sabemos que en estos rangos de velocidades bajas, estas son validas. Por otro lado debemos incorporarles el dato que la velocidad de la luz es constante en los diferentes sistemas de referencia.

Veamos entonces la deducción:
Decimos primero que x’= g (x-Vt) (1) Sabemos que para g = 1 la ecuación (1) se convertirá en la transformada galileana.
Ahora bien si nos situamos en el sistema S’ como si fuera el fijo, el sistema S se moverá hacia el lado del eje x negativo a una velocidad V. Esto es fácil de interpretar tal como vimos en el ejemplo de los dos trenes en movimiento en el anden. Podemos escribir la ecuación que conecta ambos sistemas igual que en primer caso obteniendo que:
x= g (x’+Vt’) (2)
Esto lo hacemos para poder obtener de (1) y (2) la relación de t con t’, porque ahora sabemos que esta será diferente a la de la transformada galileana donde t=t’
x’=g (x-Vt)
x= g (x’+Vt’)

De este sistema surge que:
t’= g [t-(g 2-1).x/g 2.V] (3)
Todavía no sabemos cuanto vale g , solo que si es igual a 1 siguen valiendo las transformadas galileanas.
Aquí entra el segundo aspecto del razonamiento, que es incorporar la constancia de la velocidad de la luz para ambos sistemas S y S’.
Supongamos un instante inicial t=t’=0 donde iniciamos las mediciones en nuestros dos sistemas S y S’. Es como si ambos estuvieran acoplados en dicho momento inicial t=t’=0, a partir del cual S’ se empezara a mover respecto a S a una velocidad V en la dirección del eje horizontal x. En realidad debemos pensar que S’ ya se esta moviendo, y que a partir del momento de coincidencia de los orígenes O y O’, es cuando empezamos a realizar las mediciones. Esto es así porque si S’ estuviera quieto y empezara a moverse, tendría una aceleración, por ende el sistema dejaría de ser inercial y las conclusiones no serian validas. En ese instante inicial, cuando O=O’, sale un rayo de luz que recorre una distancia hasta un detector, dicha distancia es x en el sistema S y x’ en el sistema S’. Como dijimos que la velocidad de la luz c es constante en cualquier sistema, tendremos que
x= c.t
x’= c.t’

Reemplazando estos valores de x y x’ en las ecuaciones (1) y (3) tenemos:
En (1)

Resultado de imagen para Reemplazando estos valores de x y x’ en las ecuaciones La teoría de la relatividad especial

ct’=g (ct-Vt) è ct’= g t(c-V) llamamos a esta (A)
En (3) t’=g [t-(g 2-1)ct/g 2..V] è t’= g t[1-(g 2-1).c/g 2.V] llamamos a esta (B)
Dividiendo (A)/(B) y desarrollando algebraicamente (es sencillo y da) llegamos a:
g 2=1/(1-V2/c2)
Si ahora reemplazamos este valor de g en las ecuaciones (1) y (3) obtendremos las denominadas transformadas de Lorentz que cumplen con los dos requisitos a saber:

  • Para velocidades V muy bajas respecto a la velocidad de la luz se convierten en las transformadas galileanas
  • Respetan el postulado de la constancia de la velocidad de la luz en ambos sistemas de referencia S y S’.

g) Transformadas de Lorentz
x’=(x-V.t)/(1-V2/c2)1/2
y’=y
z’=z
t’=(t-V.x/c2)/(1-V2/c2)1/2

Podemos ahora si volver a los postulados de Einstein y ver cuales son las consecuencias extrañas o contrarias al sentido común que surgen de los mismos. Aplicando las transformadas de Lorentz podremos ver como se producen dichas consecuencias.

h) Los postulados de Einstein
Recordemos ante todo haber dicho que un postulado es algo que no se explica o demuestra sino que por el contrario se establece y a partir del mismo se deducen las consecuencias de los mismos. Si estas pueden comprobarse experimentalmente entonces los postulados serán validos para la teoría así desarrollada.

  • 1er Postulado de Einstein: Es el que ya existía conocido como el principio de la relatividad. Todos los observadores en movimiento constante entre ellos son completamente equivalentes. Todas las leyes físicas de la naturaleza son las mismas en todos los marcos (sistemas) de referencia inerciales donde se las mida.. No hay manera de conocer el estado de movimiento de un observador a partir de ningún experimento físico que sea realizado por dicho observador dentro de su sistema de referencia, (si jugamos un partido de fútbol en un barco o en un avión en movimiento uniforme (no acelerado) es igual que si lo jugáramos en la tierra, los jugadores no patean mas fuerte en la dirección del movimiento.
  • 2do Postulado de Einstein. La luz siempre se propaga en el espacio vacío con una velocidad definida c, la cual es independiente del estado de movimiento del cuerpo que emite esa luz.

Este 2do postulado surge del primero por lo siguiente. Hasta el momento todos los experimentos realizados mostraban que no era posible determinar una velocidad absoluta. Si supusiéramos en contra del segundo postulado que diferentes observadores con diferentes velocidades relativas, pudieran medir diferentes velocidades relativas de la luz, entonces podrían haber determinado su propia velocidad a través del éter (velocidad absoluta), pero esto estaría violando el primer postulado de Einstein.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

El razonamiento es algo confuso, pero el salto cualitativo de Einstein parece ser que dice que si todos los experimentos mecánicos y electromagnéticos realizados demuestran que no hay movimientos absolutos, entonces esto debe tomarse como verdadero y asumirlo como un postulado, el cual debe cumplirse siempre.
Einstein llamo a estas conjeturas postulados porque reconocía que no eran requeridos por la lógica de las evidencias experimentales, sino solo motivadas por ellas. Algo así como que Einstein exclamara: «… y si da así, será así…»

Consecuencias de la aplicación de los postulados de Einstein

a) En el significado del electromagnetismo
Una de las ecuaciones de Maxwell habla de que una carga en reposo genera un campo eléctrico (Ley de Columb). ¿Reposo respecto a que?.
Otra de las ecuaciones de Maxwell habla de una corriente eléctrica que son cargas en movimiento, generan un campo magnético (Ley de Ampere). ¿Movimiento respecto a que?
Desde la relatividad podemos decir que si un observador se considera en reposo medirá un campo eléctrico generado por la carga en su mismo sistema de referencia, mientras que otro observador que esta en un sistema en movimiento respecto al primero (digamos en un tren) y hace la medición, medirá un campo magnético, porque respecto a su sistema de referencia, la carga se esta moviendo. Es decir ambas leyes, la de Columb y la de Ampere son manifestaciones del mismo fenómeno, pero medidos por observadores en diferentes sistemas de referencia, ambos en movimiento relativo entre ellos.

Es decir Einstein fue un paso mas allá que Maxwell al decir no solo que los campos eléctricos y magnéticos son manifestaciones de un único campo denominado electromagnético, sino que también dice que estas manifestaciones no son manifestaciones diferentes, sino la misma pero que dependen del sistema de referencia dentro del cual se las observe.

b) En el significado de los conceptos espacio y tiempo. 

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

La constancia de la velocidad de la luz requiere que las nociones de espacio y tiempo cambien. Ya no pueden pensarse como cosas separadas, diferentes y absolutas. Estos conceptos dependen no de si mismos sino del sistema de referencia en el cual esta el observador que realiza la medición. Este cambio es mas fácil de visualizar a partir de las transformadas de Lorentz que son las ecuaciones que conectan o relacionan las coordenadas de un evento que sucede en el espacio y en el tiempo observado o medido en dos sistemas de referencia inerciales S y S’.
Recordemos que
x’ = (x-Vt)/[1-(V/c)2]1/2
t’= (t-Vx/c2)/[1-(V/c)2]1/2

Vemos como el tiempo t’ asignado a la ocurrencia de un evento por el observador O’ depende no solo del tiempo t, sino también de la coordenada espacial x asignada a dicho suceso por el observador O. así no podemos mantener una distinción definida entre el espacio y el tiempo como conceptos separados.

En lugar de localizar a un evento con 3 coordenadas espaciales y un tiempo separado de las mismas, tenemos que pensar en cuatro coordenadas similares en el espacio-tiempo que están mezcladas como vemos en las transformadas de Lorentz. Matemáticamente el tiempo es como una cuarta dimensión espacial.

b1) Simultaneidad 

Dos eventos son simultáneos para el observador O si se producen en el mismo momento es decir, t2-t1=0, donde t2 es el momento de ocurrencia del evento 2 y t1 el de ocurrencia del evento 1. Si ambos sucesos ocurren en diferentes lugares del espacio, es decir x2-x1≠0, ¿cuál será la percepción de simultaneidad de los mismos eventos pero para un observador O’?

Aplicando Lorentz para el tiempo
Δt’ = (Δt-V.Δx/c2)/[1-(V/c)2]1/2
Δt = 0
Δt’ = (-V.Δx/c2)/[1-(V/c)2]1/2

Es decir Δt’ ≠ 0, lo cual significa que lo que es simultaneo para el observador O, no lo es para el O’ dado que no existe simultaneidad en el espacio es decir los eventos no ocurren en el mismo lugar.
Esto tendra consecuencias cuando comparemos intervalos de tiempo y longitudes que se miden en diferentes sistemas de referencia.

b2) La dilatación del tiempo

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

Imaginemos un reloj de luz, en el cual el paso del tiempo se mide por los tics hechos por un detector cuando un rayo de luz hace un recorrido de ida y vuelta desde una fuente emisora hasta el detector ubicado en el mismo lugar, reflejándose a mitad de camino en un espejo (A una distancia L desde donde esta la fuente y el detector). Imaginemos también que dicho sistema o reloj de luz esta montado en un tren que se mueve en dirección perpendicular al camino que recorre la luz a una velocidad v. Hay un observador en tierra O y uno en el tren O’.
O’ que esta en movimiento con el reloj de luz, dice que t’1 es el momento en que dispara el rayo, mientras t’2 es el momento en que el detector hace tic marcando la llegada del rayo. así decimos que los eventos son la salida del rayo de luz de la fuente y la llegada del rayo de luz al detector.
Los mismos eventos para O que esta en tierra, ocurrirán en los instantes t2 y t1.así tendremos un Δt’ y un Δt.
ΏEn que lugar del espacio ocurren estos eventos?. Para el caso de O’ en el mismo lugar dado que el rayo para el sale del mismo lugar a donde llega. Mientras que para O la salida y llegada del rayo se producen en lugares diferentes dado que el vio moverse al reloj, de allí que la posición del detector cuando el rayo le llega esta a un distancia del lugar adonde salió el rayo que es Δx= v∆t, dado que el reloj se mueve en el tren a velocidad v respecto de O.
Si reemplazamos estos valores en la transformada de Lorentz que relaciona los intervalos de tiempo tendremos luego de resolver algebraicamente que:
∆t’= ∆t.[1-(v/c)2]1/2. (1)
El factor que multiplica a ∆t esta en el rango [0,1] según sea el valor de v, o sea que el intervalo entre dos eventos será menor para el observador en movimiento O’ que el que mida el observador en reposo O. A esta prolongación del tiempo en un reloj es
lo que se denomina dilatación el tiempo.
A este mismo resultado podemos llegar con un simple razonamiento geométrico sin tener que recurrir a la transformada de Lorentz.
Para O’, ∆t’ = 2L/c simplemente es espacio dividido velocidad.
Para O, siguiendo el mismo razonamiento, el rayo de luz ahora recorre una trayectoria que conforma un triangulo de base v.∆t y altura L. La distancia recorrida es dos veces la hipotenusa del triangulo rectángulo que es la mitad del anterior. De la resolución de dicho triangulo concluimos que ∆t.[1-(v/c)2]1/2=2L/c. Relacionando con ∆t’ llegamos a la ecuación (1) que surgió a partir de la aplicación de las transformadas de Lorentz.

b3) El test de los muones, la contracción de la longitud.
Dado que O y O’ son equivalentes, podríamos pensar que el reloj pasa mas lentamente para el que esta en el tren si se mide respecto del que esta en tierra, es decir podríamos decir que en realidad el sistema fijo es el tren y el móvil el de tierra que se mueve a velocidad –v respecto del tren. Así podríamos concluir que la dilatación del tiempo es solo un efecto que se da matemáticamente pero que en la realidad es una ilusión, dado que nunca se puede comprobar.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

Existe una comprobación que confirma la teoría de Einstein de la dilatación del tiempo denominada el test de los muones.
Sobre la atmósfera chocan rayos cósmicos a una distancia de 10 Km. sobre la superficie terrestre, de esos choque se producen unas partículas subatómicas denominadas muones, las cuales son detectadas en la tierra.
De los experimentos realizados en los aceleradores de partículas se sabe que la vida media del muon en reposo es de unos 2,20×10-6 segundos. Moviéndose como máximo a la velocidad c de la luz, podría recorrer a lo largo de su vida solo 0,66 Km. ¿Cómo hace para llegar a la tierra?. Lo que ocurre es que al moverse a la velocidad cercana a la de la luz, su reloj de tiempo transcurre mas lentamente cuando se lo mide desde el reloj en tierra; es decir la vida media en reposo se alarga a la velocidad a la cual se mueve según la transformada de Lorentz, permitiéndole recorrer una distancia mayor a los 0,66 Km. O sea que dentro de este periodo de su vida puede recorrer una distancia mayor medida según el observador en la tierra.
Lo notable es que si nos sentamos en el muon, la vida media transcurre en el tiempo que calculábamos como en reposo, porque nosotros en el muon estamos en reposo respecto a el. En ese periodo vimos que no puede recorrer mas que 0,66 Km., entonces ¿cómo logra llegar a la tierra? Visto desde el sistema de referencia del muon que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz, las distancias se acortan y 10 Km. se pueden transformar en 0,66 Km. Es decir se produce un acortamiento de la variable espacio en la dirección del movimiento cuando este se produce a velocidades cercanas a la de la luz.
Distancias en movimiento se acortan, tiempos en movimiento se alargan, esto es lo extraño de la nueva concepción del espacio-tiempo según la teoría especial de la relatividad.
El acortamiento de las longitudes no significa que existan dos medidas absolutas de lo mismo, lo cual seria una paradoja, sino que la medida será diferente para cada sistema de referencia. Si dos personas permanecen a ambos lados de una gran lente cóncava, cada uno ve al otro mas pequeño; decir esto no significa que cada uno sea mas pequeño. El hecho de que los cambios de longitud y de tiempo sean considerados aparentes, no quiere decir que exista una verdadera longitud y un verdadero tiempo que parezcan distintos a distintos observadores. Longitud y tiempo son conceptos relativos, no tiene sentido hablar de ellos(medirlos) fuera del contexto de la relación entre un objeto determinado y su observador.
No tiene sentido decir que un conjunto de medidas es el correcto y que el otro es erróneo; cada uno es correcto con respecto al observador que efectúa las mediciones en su marco de referencia. Es decir no son ilusiones ópticas.
Por eso en el experimento del muon, tenemos un sistema de referencia adosado al muon, y otro sistema adosado a la tierra. En el primero, medimos la vida del muon y la llamamos vida en reposo; mientras que la medida de la longitud que recorre tiene un valor mucho menor que la que podemos medir respecto al sistema de referencia adosado a la tierra.
El cuestionamiento de si estas variaciones en longitud y tiempo son reales o aparentes es difícil de superar. Podríamos ver que pasa con otros fenómenos físicos a los cuales estamos mas acostumbrados. Veamos por ejemplo el efecto Doppler. Todos experimentamos alguna vez el cambio de frecuencia del sonido que percibimos cuando la fuente que emite el sonido se mueve acercándose o alejándose de nosotros. ¿Qué pasa entonces? ¿La frecuencia del sonido del silbato del tren es real o aparente? Decimos entonces que la frecuencia propia del sonido cuando la fuente que lo emite esta en reposo es invariable, el cambio se produce por el efecto del movimiento entre los sistemas de referencia. Lo mismo ocurre en el caso de la relatividad, las dimensiones propias de longitud y tiempo que son las medidas en el sistema en reposo (que es el sistema adosado al cuerpo en cuestión, el muon por ejemplo) no cambian. Los efectos del cambio se producen al medir en el otro sistema y son reales en tato que las mediciones son reales. La contracción de la longitud en el sentido del movimiento no se explica por teorías de la materia, sino que están referidas al proceso de medición.

c) En el significado de masa en reposo

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que tiene. Existen dos maneras de medir la masa de un cuerpo:

  • Pesándolo. Esto determina la masa gravitatoria.
  • Determinando la magnitud de la fuerza necesaria para acelerarlo hasta un determinado valor. Esto es la masa inercial.

El primer método no es bueno porque depende de la gravedad donde se pesa al cuerpo. Así la medida del peso de un cuerpo es diferente si se lo hace en la luna o en la tierra, a pesar de que la mas es la misma.
El segundo método es mas preciso pero esta sujeto a una variación mas extraña.
Dado que para medir la aceleración, debemos trabajar con movimientos, distancias y tiempos; al ser estos dependientes del sistema de referencia del observador, entonces la aceleración y por ende la masa inercial también dependerá de dicho sistema de referencia.
Un observador en reposo relativo respecto del objeto al cual le mide la masa (un astronauta en una nave con un elefante), medirá siempre al misma masa del elefante independientemente de a que velocidad se mueva la nave. Esta mas se la llama masa propia del elefante o masa en reposo.
Contrariamente, la masa que mide un observador en tierra, es decir desde otro sistema de referencia que esta en movimiento uniforme relativo a la nave, es la llamada masa relativista la cual varia según sea la velocidad de la nave. La masa inercial de un objeto ubicado en un sistema de referencia inercial en movimiento, medida desde el otro sistema inercial respecto del cual el objeto se mueve, será mayor a la masa en reposo o propia del objeto según la formula:
m= m0/[1-(v/c)2]1/2.
En la actualidad se ha comprobado que la formula anterior es correcta, a partir de observaciones de partículas subatómicas que se mueven a velocidades cercanas a c y que se producen en los aceleradores de partículas.

5. El calculo de velocidades relativas

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

A velocidades v<<c, las transformadas galileanas son validas, por eso es bastante sencillo calcular velocidades relativas, diciendo que las mismas se suman o restan según sean las direcciones de los movimientos.
En el caso de velocidades cercanas a la de la luz, esta forma de calcular velocidades relativas no es correcta porque llegaríamos al absurdo de que la luz puede moverse a velocidades superiores a c si saliera de una fuente que se mueve a la velocidad v.
Veamos una deducción simple:
Ux=(x2-x1)/(t2-t1) (1)
U’x=(x’2-x’1)/(t’2-t’1) (2)

Reemplazando los valores de las transformadas de Lorentz para ∆x’ y ∆t’ en (2) y resolviendo algebraicamente, llegamos a:
u’x=(ux-v)/(1-v.ux/c2)
Cuando v<<c è u’x=ux-v que era la ecuación de composición de velocidades relativas.

Las consecuencias extrañas de la teoría de la relatividad especial

 

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Resumiendo, si tenemos dos naves que tienen un movimiento relativo entre si a una velocidad cercana a la de la luz, los astronautas que viajan en cada una de estas naves descubrirán que:

  • La otra nave se ha encogido en la dirección del movimiento.
  • Los relojes de la otra nave van mas lentos.
  • La masa inercial de la otra nave aumento.
  • Ojo!!! Los astronautas en cada una de sus naves encontraran que nada cambio.

En el extremo cuando la velocidad relativa llega a alcanzar la velocidad c de la luz, los astronautas dirán que:

  •  La longitud de la otra nave se ha hecho nula.
  • El tiempo en la otra nave ha dejado de transcurrir.
  • La masa de la otra nave se hace infinita.

Claramente estas consecuencias serian imposibles por lo que la velocidad c de la luz, es considerada como un limite máximo de la naturaleza que ningún cuerpo puede alcanzar.
Debemos tener muy presente lo siguiente para no confundirnos:
Todos los cambios que se producen en el tiempo, la longitud, la masa, deben entenderse como cambios que se observan siempre en el marco de referencia de los demás. Es decir la dilatación del tiempo por ejemplo de un observador en movimiento, no es observada (medida) por el propio observador sino por otro que esta fuera de su sistema de referencia y respecto del cual el primero se esta moviendo con movimiento rectilíneo y uniforme.

Pero para llegar al famoso E = mcantes tenemos que entender dos conceptos muy importantes: por un lado qué es exactamente la relatividad y por otro lado entender el espacio-tiempo y cómo define lo que se conoce como líneas de universo. Por último, aunque no deduciremos los pasos matemáticos necesarios para llegar hasta la ecuación, veremos las consecuencias que tiene y cómo se relaciona dentro de la teoría de la relatividad general. Vamos allá.

Qué es la relatividad

La situación que imaginó Einstein ha sido usada y explicada hasta la saciedad en escuelas y libros de física. Imaginemos un tren y a dos individuos, uno de ellos está montado en el mismo y otro lo ve pasar a toda velocidad desde el borde de la vía. El tren se mueve a 200 kilómetros por hora.

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Un momento, ¿se mueve? ¿seguro? Sí y no al mismo tiempo. Para la persona que va sentada dentro el tren no se mueve, está quieto. Sólo se mueve para la persona que está al borde de la vía. Es algo, efectivamente,relativo.

Einstein luego imaginó que alguien tira una pelota a 20 kilómetros por hora hacia delante dentro del tren. Para la persona que está dentro la pelota se mueve a esa velocidad pero para la persona que está abajo esa pelota se mueve , sin embargo, a 220 (200+20) kilómetros por hora.

Ahí es cuando toca recordar que la velocidad de la luz es constante, y es cuando empezamos a entender que algo no encaja del todo con el concepto de que el tiempo también lo sea. Puesto que la velocidad de la luz siempre es la misma, al volver al ejemplo del tren y la persona que está dentro si en lugar de lanzar una pelota enciende una linterna proyectando un haz de luz hacia delante, la persona que está abajo no ve ese haz propagarse a la velocidad de la luz+200 km/h, la ve propagarse a la velcoidad de la luz, sin más, independientemente de lo rápido o lo lento que vaya el tren porque, simplemente, es una constante.

Para entender un poco mejor el concepto veamos el siguiente ejemplo. Muestra dos fotones de luz rebotando infinitamente entre dos espejos y tomándose un tiempo x en ir de uno a otro.

Explicación sencilla de la teoría de la relatividad

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La velocidad de la luz (y al contrario que el tiempo) sí es constante. Esto lo habían demostrado algunos años antes que Einstein otros dos físicos, Michelson y Morley. Teniendo en cuenta que la velocidad de la luz siempre es la misma (casi 300.000 kilómetros por segundo), veamos ahora el siguiente ejemplo.

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Puesto que el primer carrito se mueve a una velocidad constante, desde nuestro punto de vista el fotón tiene que recorrer una diagonal (más distancia) entre un espejo y otro variando el tiempo efectivo que tardar en rebotar. El tiempo, desde nuestro punto de vista estático, acaba de variar con respecto al de alguien que estuviese mirando dentro (que siempre verá como el fotón rebota de manera regular, se mueva el carrito o no).

Pero, ¿por qué no apreciamos la distorsión del tiempo en la vida diaria? Básicamente, porque las distorsiones sólo se producen en velocidades cercanas a las de la luz. Como referencia, el artefacto más rápido construido jamás por el hombre, las sondas Helios, siguen siendo 15.000 veces más lentas que la velocidad de la luz. Es el equivalente a si sobre una tortuga caminando lentamente sobre la superficie de la tierra pasase en vuelo rasante un avión supersónico. Con un avión supersónico moviéndose a 2470 kilómetros por hora, que para nosotros es ya una velocidad considerable el tiempo se alarga con un factor de 1,000000000002. Es muy pequeño. Si viajásemos durante un año nuestro tiempo se alargaría 0,000063 y aún cuando pasásemos 50 años metidos en él volando a esa velocidad, el tiempo se habría alargado sólo 0,0032 segundos.

Sabiendo entonces que el tiempo no es una constante, sino que depende de la velocidad, aparece la paradoja de los dos gemelos. Narra el hipotético caso de dos gemelos, uno que pasa 10 años viajando en el espacio a altas velocidades (la mitad de la luz, 150.000 km/s, por ejemplo) y otro que se queda en la tierra. Después de ese tiempo, el gemelo astronauta vuelve a la tierra y comprueba que, puesto que el tiempo ha pasado de manera distinta y ha sido más lento para él, su hermano es casi una década más viejo. ¿Ha vivido más? ¿Son los viajes a altas velocidades una fuente de eterna juventud? No, sólo ha vivido menos porque el tiempo ha pasado más lento para él, ha pensado menos, ha crecido menos y ha madurado menos. Lo único que ha ocurrido es que el tiempo ha pasado más despacio.

Lo curioso de todo, es que el observador no tiene manera de saber si se está moviendo o no si no tiene un sistema contra el que compararse. Estamos hablando de trenes, de hecho, mientras la Tierra se mueve a toda velocidad por la Vía Láctea, y con ella el universo. La realidad es que ahora mismo, aunque estés leyendo esto sentado o tumbado, estás de todo menos “quieto”.

El espacio-tiempo

La revolución de la teoría de la relatividad es que crea un cono de luz, tanto hacia delante en el tiempo, como hacia detrás. Puesto que lo que define los límites de ese cono es la velocidad de la luz y ninguna partícula puede superarla, nada de lo que ocurra puede estar fuera de los límites del mismo.

Este es el cono

Ese cono describe al observador moviéndose por la hipersuperficie que es el presente. Hacia “arriba” quedan los eventos del futuro, lo que va a ocurrir. Cualquier posibilidad o hecho tiene que ocurrir dentro de ese cono. Hacia abajo quedan los eventos que te han ocurrido.

Añade Gaumé: “ Y cuidado, no es que no “ocurran” cosas fuera de ese cono, sí ocurren, sólo que no pueden afectarte. Para que pudiesen afectarte tienen que superar la velocidad de luz. El cono es independiente de la velocidad de movimiento del observador. Eso es lo que fuerza a que el tiempo dependa del estado del movimiento”.

El cono delimita eventos que puedan tener efecto sobre otros. La línea del universo es la unión de la infinidad de puntos correspondientes a todos lo que ha ocurrido en tu vida. Siempre dentro del cono.

E = mc2

A E = mc2 se llega a raíz de una serie de ecuaciones que, debido al carácter más accesible de este post, no tiene sentido explicar aquí aunque para quien tenga conocimientos medios de física y matemática hay una explicación bastante buena aquí. Para llegar hasta la ecuación hace falta tener en cuenta dos leyes importantes:

  • Ley de conservación del momento lineal: qué básicamente quiere decir que cuando dos objetos entran en colisión a distinta velocidad (y por tanto diferente momento lineal) la resultante de la suma de ambos objetos ha de tener el mismo valor antes y después.
  • La famosa ley de conservación de la energía: La energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma. Cambia de una forma de energía a otra.

Lo verdaderamente interesante de la ecuación es que relaciona de manera directa masa y energía. Son transformables. Y hasta Einstein nadie se había dado cuenta y se pensaba que eran cosas independientes.

Explicándolo un poco mejor: pongamos por ejemplo un tronco de leña quemándose en una chimenea. Una vez se ha quemado si sumamos la masa correspondiente a todas las cenizas más los gases que ha emitido, apreciaríamos que que la masa total ha disminuido, aunque sea minúscula. Esa masa es la que se ha transformado en energía, el calor de la combustión.

En el caso de la leña no es muy eficiente, pero en el caso de las centrales nucleares, por ejemplo, es mucho mayor y por eso la utilizamos para la producción de energía.

Aunque ya es carne de otro post, la manera en la que energía, masa y espacio-tiempo se relacionan es lo que se conoce como Teoría de la Relatividad General. Y ahí es donde entra en juego la gravedad. Sin embargo, la teoría de la relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generada por la presencia de materia. Cuando la gravedad aumenta de manera brutal, como ocurre en los agujeros negros, es cuando se producen esas curvaturas extremas

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