GEOMETRÍA

Geometría. La Geometría la disciplina que se ocupará del estudio detallado, de sus principales características: su forma, su extensión, sus propiedades y su posición relativa.
La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.

Hay que dejar patente que la geometría es una de las ciencias más antiguas que existen en la actualidad pues sus orígenes ya se han establecido en lo que era el Antiguo Egipto. Así, gracias a los trabajos de importantes figuras como Herodoto o Euclides, hemos sabido que desde tiempos inmemoriales aquella estaba muy desarrollada pues era fundamental para el estudio de áreas, volúmenes y longitudes.

Asimismo tampoco podemos pasar por alto que una de las figuras históricas que más han contribuido al desarrollo de esta área científica es el matemático, filósofo y físico francés René Descartes. Y es que este planteó el desarrollo de la geometría de una forma en la que las distintas figuras podían ser representadas a través de ecuaciones.

Esta disciplina se convierte en una de las claves principales de lo que es la asignatura de Matemáticas en los distintos centros docentes y en los distintos niveles educativos. Así, tanto en Primaria como en Secundaria, por ejemplo, se desarrollan lecciones que giran en torno a aquella.

En concreto, entre las unidades que versan sobre dicha materia destacan todas aquellas que permiten que el alumno en cuestión aprenda todos los conocimientos necesarios sobre los elementos del plano, los polígonos, los triángulos, las traslaciones y giros, la semejanza o las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos.

Así, por ejemplo, a la hora de desarrollar esta última lección citada los estudiantes trabajarán sobre lo que es el prisma, el cilindro, el tetraedro, la esfera, el cubo o el tronco de la pirámide.

La geometría parte de axiomas (las proposiciones que se encargan de relacionar los conceptos); estos axiomas dan lugar a teorías que, mediante instrumentos de esta disciplina como el transportador o el compás, pueden comprobarse o refutarse.

Entre las distintas corrientes de la geometría, se destaca la geometría algorítmica, que usa el álgebra y sus cálculos para resolver problemas vinculados a la extensión.

La geometría descriptiva, por su parte, se dedica a solucionar los problemas del espacio mediante operaciones que se desarrollan en un plano donde están representadas las figuras de los sólidos.

La geometría analítica se encarga de estudiar las figuras a partir de un sistema de coordenadas y de las metodologías propias del análisis matemático.

Por último, podemos agrupar tres ramas de la geometría con diferentes características y alcances. La geometría proyectiva se encarga de las proyecciones de las figuras sobre un plano; la geometría del espacio se centra en las figuras cuyos puntos no pertenecen todos al mismo plano; mientras que la geometría plana considera las figuras que tienen la totalidad de sus puntos en un plano.

La geometría de Euclides

Ha sido muy útil en la matemática como también en otras ciencias como la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Sirve para solucionar problemas concretos:

• Medir áreas y volúmenes
• Prepararar diseños
• Fabricar artesanías.
• Es la justificación teórica de muchos instrumentos, entre los que se encuentran: Compás.

• Pantógrafo.
• Teodolito.
• Sistema de posicionamiento global.

El avance de la geometría

El avance de la geometría depende del avance en las definiciones; p. ej. Las propiedades de los triángulos serían posibles de enunciar sin hacer referencia a estos pero sería un proceso largo tedioso e inútil.

Figuras fundamentales

Figuras geométricas planas (polígonos y círculo)

• Punto
• Recta
• Plano

 

Punto

Del latín punctum, «el agujero realizado al pinchar». El punto es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas. Señal de dimensiones pocas o nada perceptibles que se hace natural o artificialmente que, por contraste de color o de relieve, es perceptible en una superficie

Historia

El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.

Representación gráfica

 

 

Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesiano mediante sus pares de coordenadas.

En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.

A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).

La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.

Determinación geométrica

Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:

En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).

En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).

En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ).

En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (u, φ, z).

También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toroidales, etc.

Puntos, rectas y planos: posiciones relativas

Dados tres o más puntos en el plano o en el espacio (según corresponda),se pueden dividir en conjuntos que cumplan o no con las siguientes condiciones. Colineales: Los denominados colineales son aquellos contenidos en una recta. Coplanarios: Se denominan puntos coplanarios a aquellos que están contenidos en un mismo plano.

Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto

Postulados en geometría euclidiana

• Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
• Dos puntos determinan una recta y sólo una.
• Una recta contiene infinitos puntos.
• Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
• El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.

Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones.

Teoremas en geometría euclidiana

• Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.

Definiciones.

En Matemática

• Elemento adimensional que describe una posición en el Espacio, en Geometría.
• Lugar de una recta, superficie o espacio al que se puede asignar una posición pero que no posee dimensiones.
• Parte de una recta o plano al que se le puede dar una posición pero que no posee extensión en ninguna de las dimensiones posibles: el Ortocentro, Baricentro, Circuncentro e Incentro de un Triángulo se llaman genéricamente Puntos notables de un triángulo.
• Signo que se utiliza para indicar la multiplicación.
• Punto Límite, concepto usado en Topología que generaliza el concepto de límite.
• Puntos relevantes de una Función: punto anguloso, o punto de Inflexión.
• Medida longitudinal, duodécima parte de la línea.

En Español

• Signo ortográfico que se pone sobre la i y la j, y con el que se forma la diéresis (ü).
• Signo ortográfico (.) con que se indica el fin del sentido gramatical y lógico de un periodo o de una sola oración.

Punto final

• El que acaba un escrito o una división importante del texto.

Punto y seguido

• El que se pone cuando termina un periodo y el texto continúa inmediatamente después del punto en el mismo renglón.

Punto y aparte

• El que se pone cuando termina el párrafo y el texto continúa en otro renglón.

Punto y coma

• Signo ortográfico (;) con que se indica pausa mayor que en la coma y menor que con el punto y seguido.

Puntos suspensivos

• Signo ortográfico (…) que denota que se ha dejado incompleto el sentido de una oración o cláusula.

En tipografía

• Unidad de medida

En Medicina

• Puntos de sutura, se aplican para cerrar una herida
• Puntos de Articulación Vocal, Punto G, Punto A, Punto de McBurney, en Anatomía.

En Física

• Punto crítico, límite para el cual el volumen de un líquido es igual al de una masa igual de vapor.
• Punto de Fusión, de Ebullición , de Condensación , de Sublimación: temperatura a la que se produce un cambio de estado.
• Punto de inflamación, temperatura a la que arde una determinada sustancia.
• Punto material, idealización de un cuerpo como si toda su masa estuviese concentrada en un punto.
• Punto triple, condiciones de temperatura y presión en las que pueden coexistir los tres estados de la materia simultáneamente.

En geografía

• Punto cardinal, cada uno de los cuatro puntos del espacio (Norte, Sur, Este y Oeste) que sirven para orientarse.

En deporte

• Unidad de tanteo utilizada en diversos deportes, con la cual se computan los tantos obtenidos en un juego o competición.

Otros usos

• Punto de cruz, cada una de las diversas maneras de trabar y enlazar entre sí los hilos que forman ciertas telas y tejidos.
• Parte por la que sale la tinta en una pluma de escribir.
• Dolor agudo y de corta duración.
• Grado de intensidad en una escala.
• Situación en la que por cualquier motivo no se puede seguir adelante.
• Punto negro, lugar especialmente peligroso o conflictivo.
• Punto neurálgico, aspecto delicado o de gran importancia.
• Espacio o lugar dedicado a un fin.
• Parte mínima de una cosa.

 

• • En la recta se pueden ver: Segmentos, semirrectas y vectores
  • En el plano, una recta determina dos semiplanos, su intersección determina las figuras convexas: faja, Ángulo, Triángulo, cuadrángulo y Polígono.
  • Utilizando el concepto de distancia: se definen: el círculo y la esfera.
  • Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro, y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepípedo.
  • El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro

Relaciones y propiedades entre dos rectas

Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes:

• Dos rectas pueden ser:

• Paralelas
• Perpendiculares
• Oblicuas (se cortan en un punto formando ángulos no rectos).

• En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas). * Un concepto muy importantes dentro de la geometría es el de congruencia o igualdad.

Clases de Geometría

• Geometría plana. En ella se da por cierto el axioma del paralelismo de Euclides. Se consideran las figuras cuyos puntos están todos en un plano.
• Geometría espacial (también llamada Geometría del espacio): extensiones de los axiomas relativos al plano. Se estudian las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.
• Geometría analítica: Estudio de figuras mediante un sistema de coordenadas y métodos de análisis matemático.
• Geometría algebraica. Aplicación del álgebra a la geometría para, por medio del cálculo, resolver ciertos problemas.
• Geometrías no euclídeas: Estudio de otros axiomas como diferentes postulados de paralelismo o de existencia de conjuntos de puntos mayores que el plano (y menores que el espacio)
• Geometría proyectiva. Se tratan las proyecciones de las figuras sobre un plano.
• Geometría descriptiva. Se encarga de la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano. Tiene entre sus objetivos:

1. Solución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano.
2. Representación de las figuras de los sólidos en un plano.
3. Suministrar las bases del dibujo técnico.

Formas geométricas

Clasificación de las formas geométricas elementales.

• Formas geométricas planas:

• Recta.
• Polígonos.
• Secciones cónicas.

• Formas geométricas espaciales:

• Superficies regladas.
• Poliedros regulares.
• Pirámide.
• Prisma.

• Superficies de revolución:

• Cilindro.
• Cono.
• Esfera.
• Elipsoide.
• Paraboloide: (Paraboloide hiperbólico y Paraboloide elíptico)
• Hiperboloide