Exponentes. El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer «8 a la segunda potencia», «8 a la potencia 2» o simplemente «8 al cuadrado»
Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
En palabras: 53 se puede leer «5 a la tercera potencia», «5 a la potencia 3» o simplemente «5 al cubo»
Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
En palabras: 24 se puede leer «2 a la cuarta potencia» or «2 a la potencia 4» o simplemente «2 a la cuarta»
Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones
Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación.
Así que, en general:
Exponentes negativos
¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número.
Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0,125
O varias divisiones:
Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008
Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:
5-3 también se podría calcular así:
1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008
Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos:
Calcula la potencia positiva (an)
Después cacula el recíproco (o sea 1/an)
Más ejemplos:
| Exponente negativo | igual | Recíproco del exponente positivo | igual | Respuesta |
| 4-2 | = | 1 / 42 | = | 1/16 = 0,0625 |
|---|---|---|---|---|
| 10-3 | = | 1 / 103 | = | 1/1.000 = 0,001 |
¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0? Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9) Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1)
Tiene sentido
Mi método favorito es empezar con «1» y multiplicar y o dividir tantas veces como diga el exponente, y tendrás la respuesta correcta, por ejemplo:
Exponentes fraccionarios
También se llaman «radicales»
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer «8 a la segunda potencia», «8 a la potencia 2» o simplemente «8 al cuadrado»
Exponentes fraccionarios: ½
En el ejemplo de arriba, el exponente es «2», ¿pero y si fuera «½»? ¿Cómo funcionaría?
Pregunta: ¿Qué es x½ ?
Respuesta: x½ = la raíz cuadrada de x (o sea x½ = √x)
¿Por qué?
Porque si calculas el cuadrado de x½ tienes: (x½)2 = x1 = x
Para entenderlo, sigue esta explicación de dos pasos:
| 1 | Primero, hay una regla general: (xm)n = xm×n (Porque primero multiplicas x «m» veces, después tienes que hacer eso «n» veces, en total m×n veces) | Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6 Así que (x2)3 = x2×3 = x6 |
| 2 | Ahora, vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x½: | (x½)2 = x½×2 = x1 = x Cuando hacemos el cuadrado de x½ sale x, así x½ tiene que ser la raíz cuadrada de x |
Probamos con otra fracción
Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):
¿Qué es x¼?
(x¼)4 = x¼×4 = x1 = x
Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raíz cuarta de x.
Así que x¼ = la raíz cuarta de x
Regla general
De hecho podemos hacer una regla general:
Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:
Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?
Respuesta: 271/3 = 27 = 3
¿Qué pasa con fracciones más complicadas?
Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:
una parte con un número entero, y
una parte con una fracción del tipo 1/n
Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):
Así que tenemos esto:
Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima
Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?
Respuesta: 43/2 = 43×(1/2) = √(43) = √(4×4×4) = √(64) = 8
Potencias de 10
(Nota: índice, potencia o exponente significan todos lo mismo)
El índice de un número te dice cuántas veces usas el número en una multiplicación.
Esto quiere decir 10 × 10
(el 10 se usa 2 veces en la multiplicación)
Ejemplo 1: 103 = 10 × 10 × 10 = 1.000
Con palabras: 103 se podría llamar «10 a la tercera potencia», «10 a la 3» o simplemente «10 cubo»
Ejemplo 2: 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000
Con palabras: 104 se podría llamar «10 a la cuarta potencia», «10 a la potencia 4» o simplemente «10 a la 4»
Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación (ver exponentes), pero las potencias de 10 tienen una utilidad especial…
Potencias de 10
Las «potencias de 10» son una manera muy útil de escribir números muy grandes.
En lugar de muchos ceros, puedes poner qué potencia de 10 necesitas para hacer todos esos ceros
Ejemplo: 5.000 = 5 × 1.000 = 5 × 103
Cinco mil es 5 veces mil. Y mil es 103. Así que 5 × 103 = 5.000
¿Ves cómo 103 es una manera cómoda de escribir 3 ceros?
Científicos e ingenieros (quienes a veces usan números muy grandes o muy pequeños) encuentran muy útil esta manera de escribir números como:
9,46 x 1015 metros (la distancia que la luz viaja en un año), o
1,9891 x 1030 kg (la masa del Sol).
Así evitan tener que escribir muchos ceros. Se suele llamar notación científica, o forma estándar.
Aunque parezca difícil al principio, hay un sencillo «truco»:
El índice de 10 dice
cuántas posiciones se mueve el punto decimal a la derecha.
Ejemplo: ¿Cuánto es 1,35 × 104 ?
Lo puedes calcular así: 1,35 x (10 × 10 × 10 × 10) = 1,35 x 10.000 = 13.500
Pero es más fácil pensar en «mover el punto decimal 4 posiciones a la derecha» así:
decimales
Potencias negativas de 10
¿Negativas? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir!
Una potencia negativa significa cuántas veces se divide por el número.
¡Los exponentes negativos van en la dirección contraria!
Ejemplo: 5 × 10-3 = 5 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 0,005
Sólo tienes que recordar que para potencias negativas de 10:
Para las potencias negativas de 10, mueve el punto decimal a la izquierda.
Ejemplo: ¿Cuánto es 7,1 × 10-3?
Bueno, en realidad 7,1 x (1/10 × 1/10 × 1/10) = 7,1 x 0,001 = 0,0071
Pero es más fácil pensar en «mover el punto decimal 3 posiciones a la izquierda» así:
decimales
