Ecuaciones

Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple solamente para ciertos valores de las letras. – Los miembros son las expresiones que aparecen a cada lado del signo de igualdad. — Los términos son los sumandos que forman los miembros. — Las incógnitas son las letras.

Ecuaciones de primer grado
Solución
Una ecuación de primer grado con una incógnita es
una igualdad algebraica que se puede expresar en la
forma ax+b=0, con a#0.

La solución de una ecuación del tipo ax+b=c es:

x=-a/b

Aplicaciones. Resolución de Problemas
Las ecuaciones de primer grado se aplican a la
resolución de problemas.
Llamamos x al menor de los tres números.
Los números consecutivos son x+1, x+2
La ecuación es: x+x+1+x+2=249
Resolvemos: 3x + 3 = 249
3x = 246
x = 246/3 = 82
La solución: Los números son 82, 83 y 84

Resolver: -6x+4=15x
Pasamos la x la izquierda y lo que no
tiene x a la derecha
-6x-15x=-4
Hacemos operaciones:

-21x=4
Despejamos la x:
4 x 21

EJERCICIOS resueltos

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
   a) 7x 5 9x 7 1
   7 8
   −+ −

• =− Sol:
  7x 5 9x 7
  56 56 56·( 1) 8( 7x 5) 7(9x 7) 56
  7 8
  47
  56x 40 63x 49 56 7x 47 x
  7
  −+ − + = − → − + + − =−
  − − + + − =− → =− → =
  b) 2x (x 1) 5x 2
  4 6
  −+ + = Sol:
  x 1 5x 2
  12 12 3(x 1) 2(5x 2)
  4 6
  7
  3x 3 10x 4 7x 7 x 1
  7
  − + = → −= +
  − = + →− = → = =−
  −
  c) 3x 7(x 1) 2x 1 2
  6 3
  −+ − = − Sol:
  3x 7(x 1) 2x 1 6 6 6·2 3x 7(x 1) 2(2x 1) 12
  6 3
  7
  3x 7x 7 4x 2 12 8x 7 x
  8
  −+ − = − → − + = −−
  − − = − − →− =− → =
  d) 2x 5 2x 8
  x
  3 7
  − −+ − = Sol:
  2x 5 2x 8
  21 21 21x 7(2x 5) 3( 2x 8) 21x
  3 7
  14x 35 6x 24 21x x 59 x 59
  − −+ − = → − −− + =
  − + − = →− = → =−
  e) 6x (x 8) 2x 17 x
  6 3
  −− −− = + Sol:
  6x (x 8) 2x 17 6 6 6x 6x (x 8) 2( 2x 17) 6x
  6 3
  5x 8 4x 34 6x 3x 42 x 14
  − − −− = + → − − =− − +
• =− − + → =− → =−

1. La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 años
   ¿Cuál es la edad de cada uno?
   Sol:
   Edad del hijo:x 56 x 3x 56 4x 56 x 14
   Edad del padre:3x 4
   La edad del hijo es 14 años y la del padre es 42 años

• = → = →= =

1. ¿Cuántos litros de vino de 5€ el litro deben mezclarse con vino de 3€ el litro para
   obtener 50 litros de vino cuyo precio sea de 4€ el litro?
   Sol:
   Litros de vino de 5 € 😡
   litros precio
   vino de 3 € el litro x 5x 5x 3(50 x) 200 2x 50 x 25 vino de 4 € el litro 50 x 3(50 x)
   vino de 6 € el litro 50 200
   Hay que mezclar 25 litros de 5 € con vino de 3 €

Ecuación de segundo grado
Solución
Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
ax2 + bx + c =0
Para resolverlas empleamos la fórmula:

: Ecuaciones incompletas Cuando b, c ó los dos son 0 estamos ante una ecuación de segundo grado incompleta. En estos casos no es necesario aplicar la fórmula sino que resulta más sencillo proceder de la siguiente manera:

• Si b=0 ax2 + c =0 ⇒ ax2 =-c ⇒ x2 =-c/a

a c x = ± −

• Si c=0 ax2 + bx =0 sacando x factor común : x(ax+b)=0 ⇒ x=0, x=-b/a son las dos soluciones.

Resolver: x2 – 2x – 8 =0

2×2 – 6x = 0
x(2x – 6) = 0
Soluciones:
x=0
x=3

Resolver: -x2/2 +2 = 0
x2
= 4
Soluciones:
x=2
x=-2

Número de soluciones

Estas ecuaciones pueden tener dos soluciones, una o ninguna solución, según sea b2-4ac, el llamado discriminante.

b2-4ac > 0 Hay dos soluciones.

b2-4ac = 0 Hay una solución doble: x=-b/2a

b2-4ac < 0 No hay solución.