Trayectoria de una partícula.

Trayectoria de una particula se puede definir como el conjunto de todas las posiciones por las que esta ha pasado en movimiento en un cierto tiempo. La trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Las fuerza de interacción gravitatoria y eléctrica son centrales y conservativas. Por tanto, la energía y el momento angular se mantienen constantes en todos los puntos de la trayectoria

La trayectoria de una partícula viene dada por la ley horaria

Determina la velocidad y aceleración de la partícula, los vectores del triedro intrínseco, así como la ecuación de la trayectoria. Calcula también las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración ¿Cual es la expresión de un desplazamiento elemental ? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar al punto medio de la trayectoria?. ¿Y al punto final? Describe cualitativamente la evolución temporal de la posición de la partícula.

2 Solución

El vector velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo el vector de posición. Como viene dado en una base cartesiana, tenemos

• 2.1 Aceleración a aceleración es a su vez la derivada respecto al tiempo del vector velocidad

La aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre la dirección tangente, es decir, la del vector velocidad

La aceleración normal se obtiene a partir de la total y la tangencial

2.2 Triedro intrínseco

Una vez conocidas la velocidad y la aceleración podemos calcular el triedro intrínseco. El vector tangente es

donde el módulo de la velocidad es

Obtenemos el vector normal a partir de la aceleración total y tangencial

El vector binormal es el producto vectorial de estos dos

El hecho de que sea constante indica que la trayectoria es plana.

2.3 Ecuación de la trayectoria

Para encontrar la ecuación de la trayectoria eliminamos el tiempo en la ley horaria, con el fin de expresar y,z en función de x. Tenemos

El hecho de que z = 0 implica que la trayectoria está en el plano XY. Observando las ecuaciones de x(t) e y(t) vemos que se cumple

Esta curva es una circunferencia contenida en el plano XY, con centro en el origen y radio A. Sin embargo, si observamos con atención la expresión que da y(t) vemos que, como el tiempo t es siempre positivo, la coordenada y(t) nunca es negativa. Así que en realidad el movimiento de la partícula se circunscribe a la semicircunferencia superior. La ecuación de la trayectoria es

La posición inicial de la partícula es

La velocidad y aceleración iniciales son

Es decir, la partícula se desplaza de derecha a izquierda, siguiendo la semicircunferencia, como se indica en el dibujo.

• 2.4 Desplazamiento elemental

El desplazamiento elemental  se escribe

• 2.5 Distancia recorrida en función del tiempo

El espaciado recorrido por la partícula en un tiempo t es la suma de los desplazamientos infinitesimales en que dividimos la trayectoria. Si consideramos que el desplazamiento inicial es cero tenemos

El módulo de la velocidad es

Por tanto, el espacio recorrido en un tiempo t es

2.6 Tiempo invertido en llegar al punto medio

En el punto medio se tiene

Obtenemos T_m imponiendo la condición para la coordenada y en la ecuación horaria

Podemos calcular cuanto tarda en llegar al punto final de la trayectoria. A partir de la expresión que da el espacio recorrido, en el punto final se tiene

2.7 Descripción cualitativa del movimiento

La partícula parte del extremo derecho de la circunferencia y se desplaza a lo largo de ella hacia la izquierda.

En la gráfica se representa el módulo de la velocidad y la aceleración tangencial. El módulo de la velocidad va disminuyendo, y la partícula se mueve cada vez más lentamente según se acerca al extremo izquierdo de la circunferencia. Por eso tarda un tiempo infinito en llegar al punto final.