Tiempo
El tiempo es una de las magnitudes físicas fundamentales. Todos tenemos una idea intuitiva de tiempo pero tratar de definirlo es una de las tareas más difíciles. Se han escrito multitud de tratados sobre el tema, pero para la Física lo que importa no son las disquisiciones sobre la naturaleza del tiempo, sino como se mide. La posibilidad de medir el tiempo se basa en la siguiente hipótesis, que podríamos llamar principio de la homogeneidad del tiempo:
Las leyes físicas no cambian con el transcurrir del tiempo.
En base a este principio si repetimos un proceso físico en las mismas condiciones su duración será la misma. Esto permite usar la duración de un proceso físico cualquiera, que se pueda repetir en las mismas condiciones, para definir un patrón para medir el tiempo.
Llamamos reloj cualquier mecanismo que sirva a este propósito. Los ejemplos más clásicos son el reloj de arena y el de agua (clepsidra), conocidos ya en la antigüedad. Un gran avance se logró en el siglo XVII, cuando se usó un péndulo para regular el ritmo de los relojes de engranajes, que ya se conocían desde el siglo X. Posteriormente la substitución del péndulo por un oscilador de muelle en espiral permitió la construcción de relojes portátiles. Diferentes tipos de osciladores mecánicos o eléctricos han sido usados para construir relojes. Los llamados relojes atómicos usan como patrones las frecuencias de determinadas radiaciones atómicas. Estos relojes tienen gran precisión porque las frecuencias de las oscilaciones no dependen de los detalles de construcción, como sería por ejemplo la longitud de un péndulo.
Ya en la antigüedad, se comprobó que, si bien la duración del día natural (o sea el tiempo que pasa el sol sobre el horizonte) cambia apreciablemente durante las épocas del año y depende de la latitud, el día solar (el tiempo entre dos mediodías sucesivos = día natural + noche) era constante. Nótese que el día solar no es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor de su eje, tiempo este que se denomina día sideral o sidéreo y que se mide con dos pasadas sucesivas de una misma estrella por el meridiano. El día solar es unos minutos más largo que el día sideral porque durante el tiempo en que la Tierra da una vuelta sobre su eje la línea Sol-Tierra ha rotado un cierto ángulo. En un año hay un día sideral más que el número de días solares, o sea que hay aproximadamente 365,25 días solares y 366,25 días siderales. Con relojes más precisos, se pudo verificar que el día solar también fluctúa durante el año, debido a que la órbita terrestre es elíptica, no circular.
En cambio el día sideral se mantiene constante. Por eso se definió el segundo en base al promedio del día solar en un año, que es proporcional al día sideral. Con el advenimiento de los relojes atómicos se descubrió que aún las duraciones del día sideral y del año cambian muy lentamente. Por esto se cambió el patrón de tiempo y se usa la radiación hiperfina del estado base del isótopo 133Cs, de 9,2 GHz para definir el segundo.
Longitud, marco de referencia y espacio
La longitud es otra de las magnitudes fundamentales de la Física. La posibilidad de poder medir la longitud se basa en la existencia de cuerpos rígidos, o sea cuerpos en los que las distancias entre sus partes se mantienen constantes. Los cuerpos rígidos se pueden usar como reglas. La distancia entre dos cuerpos es el mínimo número reglas iguales adyacentes que se pueden poner entre uno y otro.
En el estudio de la mecánica es muy usado el concepto de partícula o punto material que sería un cuerpo cuyas dimensiones son insignificantes con respecto a las otras dimensiones del sistema estudiado. Es de hacer notar que un cuerpo puede ser o no una partícula según el contexto. Por ejemplo si estudiamos el movimiento de los planetas en el sistema solar podríamos considerar la Tierra como una partícula.
Otro concepto fundamental de la mecánica es el de sistema de referencia (SR). El sistema o marco de referencia es un cuerpo rígido que consideramos en reposo y que permite determinar la posición de otros cuerpos midiendo las distancias entre estos y diferentes partes del sistema de referencia. En la vida diaria usamos a la Tierra como marco de referencia.
Si vamos en un avión nuestro SR es el avión mismo. Para determinar la posición de una partícula bastan tres distancias (coordenadas). El punto del espacio físico ocupado por una partícula es una abstracción matemática, cuya propiedad es tener las mismas coordenadas que la partícula. Se supone que el punto exista aún cuando no haya partícula presente.
Los puntos del espacio físico representan las potenciales posiciones que pueden ocupar las partículas. El conjunto de los puntos constituye el espacio físico ligado (o relativo) al marco de referencia. Como bastan tres coordenadas para determinar la posición decimos que el espacio tiene tres dimensiones. A cada SR le corresponde un espacio físico ligado a él. Solamente un cuerpo rígido en reposo con respecto al SR puede compartir con él un mismo espacio físico. Un concepto que algunas veces se confunde incorrectamente con el SR es el de sistema de coordenadas. Para un SR hay infinitas maneras de definir un sistemas de coordenadas.
La geometría del espacio físico
Inicialmente la Geometría (Geo = Tierra y metría = medición) era el arte de los topógrafos y agrimensores. Con el tiempo se fueron encontrando empíricamente las propiedades de las figuras geométricas. Por ejemplo el teorema de Pitágoras era conocido empíricamente antes de que Pitágoras lo demostrara. En ese tiempo la Geometría era parte de la Física en el sentido de que dependía del experimento. Con el tiempo las relaciones geométricas se fueron sistematizando y deduciendo unas de otras, hasta que en el siglo IV a.C. Euclides, matemático griego de Alejandría de Egipto, publicó un tratado en el que deducía el conocimiento geométrico de su época a partir de ciertos postulados no demostrados (axiomas).
Las aserciones demostradas eran los teoremas. A este punto la Geometría dejo de ser física para convertirse en matemática. Pero había un malentendido en la naturaleza de las teorías matemáticas. Para Euclides los axiomas eran verdades “tan evidentes” que no necesitaban comprobación. Por consiguiente por más de 2000 años se pensó que había una única geometría posible. Pero había un axioma que a muchos no les parecía evidente: Dada una recta y un punto hay una sola recta paralela a la recta dada que pasa por el punto. Por siglos muchos trataron infructuosamente de demostrar el axioma de las paralelas a partir de los otros axiomas de Euclides. Fue sólo en el siglo XIX cuando el matemático ruso Nicolás Lobachevsky demostró que había geometrías consistentes en las que se substituía el postulado
de las paralelas por otro en el que no había paralelas o había infinitas. Fue un punto crucial en la historia de las matemáticas. Se comprendió que los axiomas no eran “verdades evidentes que no necesitan demostración”, como decía Euclides, sino más bien proposiciones arbitrarias que se suponen verdaderas a priori. Lo único que debe satisfacer un conjunto de axiomas es no ser incompatibles. Si se incluye un nuevo axioma en una teoría matemática se obtiene una teoría más particular que la teoría original. Si cambiamos un axioma por otro se obtiene una nueva teoría. No habría “una” geometría sino muchas posibles.
Para hacernos una idea de como sea posible que haya varias geometrías imaginémonos que fuéramos seres bidimensionales que viven en la superficie de una esfera. Podríamos estudiar la geometría de nuestro espacio (2D). En vez de la recta entre dos puntos hablaríamos de la geodésica (un arco de círculo máximo), o sea la línea de menor longitud entre los puntos.
Descubriríamos que el espacio no sería plano sino curvo. Por ejemplo la suma de los ángulos internos de un triángulo sería mayor de 180o . Es importante notar que a una escala mucho más pequeña que el radio de la esfera la curvatura del espacio no se podría apreciar.
Habiendo, no una, sino infinitas geometrías posibles se plantea entonces la siguiente pregunta física: ¿Cuál es la geometría del espacio físico?
¿Cómo podemos responder esta pregunta a la luz de nuestros conocimientos actuales?
Según la teoría actual de la gravedad (Relatividad General) la geometría del espacio depende del movimiento y distribución de las masas, o sea que es dinámica. En ausencia de grandes masas los espacios físicos relativos a sistemas de referencia inerciales (de los que se tratará en detalle al estudiar la Dinámica) tienen una geometría Euclídea. Los sistemas de referencia no-inerciales o acelerados, aún en ausencia de masas, tienen una geometría no-Euclídea, siendo el radio de curvatura del espacio del orden de c 2/a, donde c es la velocidad de la luz y a la aceleración.
En resumen podemos esperar que la curvatura del espacio sea apreciable:
1. En las cercanías de masas muy grandes.
2. En sistemas de referencia fuertemente acelerados.
3. A distancias del orden del tamaño del Universo.
En la mecánica Newtoniana, que es lo que estudiaremos en lo que sigue, se asume un espacio-tiempo Galileano, o sea un espacio Euclídeo para todos los sistemas de referencia y un tiempo absoluto, el mismo para todos los relojes independientemente de su movimiento.
Vectores geométricos
La teoría de vectores es un capítulo de la geometría Euclídea que permite tratar problemas geométricos complejos con técnicas algebraicas. La formulación de las leyes físicas se simplifica mucho con el uso de vectores, por eso las formulaciones modernas de la mecánica los usan ampliamente. En el resto del capítulo desarrollaremos la teoría geométrica de los vectores, para lo cual supondremos conocida la geometría de Euclides de los espacios de tres dimensiones. Para no recargar inútilmente el texto presentamos demostraciones intuitivas, no rigurosas.
Diremos que un segmento es paralelo a una recta si es paralelo a algún segmento orientado de la recta. También hablaremos de segmentos orientados paralelos a un plano cuando lo sean con alguna recta contenida en el plano.
Por convención consideraremos que los segmentos orientados nulos son paralelos a cualquier otro segmento orientado.
Una dirección es un conjunto de todas las rectas paralelas entre sí, es decir la dirección es lo que las rectas paralelas tienen en común entre si. Podemos entonces decir que dos segmentos orientados paralelos tienen la misma dirección.
Pasaremos ahora a definir segmentos orientados con el mismo sentido.
Dirección y sentido de segmentos orientados
AB y GH no son paralelos. AB y CD son paralelos del mismo sentido. AB y EF son paralelos
de sentido contrario.
Definición 7. AB es equipolente a CD si
a) ambos son nulos, AB = CD = 0, o
b)
1. AB ∥ CD
2. AB = CD > 0
3. AB y CD tienen el mismo sentido.
Los segmentos orientados equipolentes son los que tienen las mismas dirección y magnitud
y el mismo sentido.
Segmentos orientados equipolentes ABDC es un paralelogramo.
Teorema 2. “Ser equipolente a” es una relación de equivalencia.
Esto es, es una relación que debe ser:
1. reflexiva (AB es equipolente a AB),
2. simétrica (AB equipolente a CD implica CD equipolente a AB) y
3. transitiva (AB equipolente a CD y CD equipolente a EF implica AB equipolente a EF).
Definición 8. Un vector es una clase de equivalencia de la equipolencia de los segmentos orientados.
En otras palabras un vector es un conjunto de segmentos orientados equipolentes entre sí, sin que falte ninguno. Denominamos −→
AB al vector al que pertenece el segmento orientado AB.
Definición 9.
−→
AB = {CD | CD ∈ E × E y CD equipolente a AB}.
Definición 10. Denominamos V al conjunto de los vectores
Esto es V = E ×E/equipolencia. Para distinguir las variables numéricas de las vectoriales se escribirá una flecha sobre estas últimas. Esto es, si escribimos ⃗v entendemos que se trata de un vector. En los libros es común usar variables en negritas (v) en vez de flechas. Para representar un vector podemos usar uno cualquiera de los segmentos orientados pertenecientes a él.
Debido a que todos los segmentos orientados nulos son equipolentes podemos hacer la siguiente definición.
Definición 11. El vector nulo es el vector correspondiente a los segmentos orientados nulos.
⃗0 =
−→
AA.
Usualmente, cuando no hay confusión, se omite la flecha sobre el cero.
Definición 12. Se denomina módulo o magnitud de un vector a la magnitud de sus segmentos orientados.
| −→ AB| = AB.
Teorema 3.
|⃗a| = 0 ⇐⇒ ⃗a = ⃗0.
Teorema 4.
(∀A)(A ∈ E)(∀⃗a)(⃗a ∈ V)(∃!B)(B ∈ E)
−→
AB = ⃗a
En palabras: Para todo punto del espacio A y para todo vector ⃗a existe un solo punto B tal que el segmento orientado AB pertenezca al vector ⃗a.
Demostración. Si ⃗a = 0 el punto B debe coincidir con A. Si ⃗a no es nulo existe una sola recta r paralela a ⃗a que pasa por A. Hay dos puntos B′ y B′′ que pertenecen r y distan de A la magnitud de ⃗a, AB′ = AB′′ = |⃗a|. Uno de los segmentos orientados AB′ y AB′′ tiene el mismo sentido y el otro el opuesto que ⃗a.
Hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio E y los vectores V. Si escogemos O ∈ E, A ∈ E ←→ −→ OA ∈ V . (5)
Desplazamientos
En Física los vectores geométricos pueden ser interpretados como desplazamientos. Si nos movemos del punto A al punto B, el vector −→ AB es el desplazamiento.
Producto de un vector por un número
Lo interesante de los vectores es que podemos definir un conjunto de operaciones matemáticas entre ellos, la primera de las cuales es el producto por un número.
Definición 13. Sean c ∈ R y ⃗a ∈ V ⃗b = c⃗a ⇐⇒
Fig. 2.3 Ejemplos de producto de un vector por un número
Es fácil demostrar las siguientes propiedades del producto por un número.
Teorema 5. c⃗a = ⃗0 ⇐⇒ c = 0 o ⃗a = ⃗0
∗ Teorema 6. 1⃗a = ⃗a
∗ Teorema 7. El producto por un número es asociativo con el producto de números,
α(β⃗a) = (αβ)⃗a.
Teorema 8. Si ⃗a ̸= ⃗0 y
⃗b ̸= ⃗0
⃗a ∥
⃗b ⇐⇒ (∃α)(α ∈ R) ⃗a = α⃗b
a + b b
A a
B
C
Fig. 2.4 Suma de vectores
∗ Teorema 12. Todo vector ⃗a tiene un opuesto −⃗a tal que ⃗a + (−⃗a) = ⃗0.
Demostración. Sea
−→
AB = ⃗a, si ponemos −⃗a =
−→
BA se obtiene
−→
AB +
−→
BA =
−→
BB = ⃗0.
La demostración de los próximos dos teoremas es más o menos inmediata
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