En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:
|
donde
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.
Por ejemplo si
o también
y queremos calcular:
Por un lado tenemos:
y
si:
entonces:
Si definimos como función de función:
resulta que:
con el mismo resultado.
Tenemos
Con la regla de la cadena, esto sería:
Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.
Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.
Y luego se obtiene la derivada.
Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:
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