Concepto básico de la recta real ubicando los conjuntos numéricos conocidos:
Vamos a hablar en un concepto muy importante en las matemáticas, y ese concepto es la recta real, es una recta que de hecho nos va ayudar a conocer mejor los conjuntos numéricos que conocemos, empecemos por los números más usuales, o los más usados, los números naturales, son los que sirven para contar las cosas que tenemos, 1 objeto, 2 objetos, 3 objetos, etcétera. En este video asumiremos que el texto está dentro de los números naturales apartándonos de la discusión de si está en los números naturales o no, para hacer la recta real vamos a trazar una línea, en el medio de ésta ubicaremos al 0, y hacia la derecha de éste ubicaremos los números naturales, 1, 2, 3… y podemos también sobre pasar a éstos, 10, 11, 12… Este conjunto ubicado a la derecha del 0 puede ser nombrado como “enteros positivos” y hacia la izquierda del 0 puedo ubicar los números “enteros negativos” -1, -2, -3… Ambos conjuntos, el de la derecha y el de la izquierda del 0, juntos, se llaman “los números enteros”, pero no todo puede ser representado por números enteros, porque se pueden tener medias partes, surgen así los números racionales, o fraccionarios ½, 2/4, 4/8… pero hay números que no son enteros, y que no pueden ser representados puesto que tampoco son fraccionarios, así como “el número pi”, estos números son los irracionales, la unión de los enteros positivos, enteros negativos, racionales e irracionales, produce los números reales, o sea todos los que se pueden graficar en la recta real, la recta de los reales es un concepto que gráficamente nos puede ayudar a comprender conceptos como mayor o menor que, o igual, para saber si un número es mayor o menor que otro debemos saber que si se trata de números enteros positivos, el número que esté más lejos del cero es el número mayor, si se trata de los números enteros negativos el número más cerca al 0 será el mayor.
se muestra como a través del conteo y el usos del concepto de recta real podemos sumar dos números de una sola cifra y como el concepto se extiende para números de más cifras. La suma es una operación donde a un número cualquiera le agregamos otro, teniendo como resultado el conteo de los elementos que representa el primer número adicionado al conteo de los elementos que representa el segundo. Hacer el conteo total de dichas unidades es la suma de ambos números. Si tenemos conteos más grande será dificultoso realizar la suma de los elementos con dibujos, por ello existen métodos que permiten realizar suma más grandes que serán presentados en otros videos, por ahora nos enfocaremos en aprender a interpretar sumas cuando tenemos números de una sola cifra. Una forma con la que podemos agilizar estos ejercicios es contar a partir del primer número las unidades adicionales del otro. Otra forma de ver la suma es a través del concepto de la recta real, que ha sido mencionado anteriormente, en la que se pueden ubicar todos los números que conocemos. En la recta real cuando se nos presenta una suma solo es necesario contar las unidades del primer número y continuamente las del segundo, y donde termine ese conteo es el resultado. La suma la podemos realizar contando objetos o moviéndonos a través de la recta real la cual funcionará también para números grandes.
La suma es el resultado de la adición u operación de sumar. Existen varios métodos para sumar.
Ejemplo:
| 656 | Paso 1 Primero se suman las unidades 1 como el resultado obtenido es 18, se convierte este número en 8 unidades y 1 decena | Paso 2 Se suman las decenas y se convierte el resultado (11) a 1 decena y 1 centena 11 | Paso 3 Se suman las centenas 11 |
Otra forma de resolverla es de izquierda y derecha. Observa el ejemplo.
Primero se acomodan los números en tres columnas, y se procede a sumar las centenas de todos los números, es decir, los de la primera columna de la izquierda:
| 6 | 5 | 6 |
| 2 | 4 | 4 |
| 6 | 1 | 8 |
| 14 | 10 | 18 |
El resultado es 14 centenas es decir 14 veces 100 = 1 400
El segundo paso es sumar la segunda columna, es decir, las decenas. El resultado es 10 decenas, es decir, 10 veces 10 = 100.
El tercer paso es la suma de la tercera columna, es decir, las unidades. El resultado es 18.
Después se suman los tres resultados obtenidos:
1400
+ 100
18
1518
Para comprobar si nuestra suma es correcta, se resta de manera progresiva los resultados obtenidos:
_ 1518 Del total restamos las centenas
1400
_ 118
100 Del total restamos las decenas
_ 18
18 Del total restamos las unidades
0 Si el resultado es cero la suma es correcta.
Valor posicional es el valor que tiene cada número según el orden y la cantidad de cifras que tengan. Los de una cifra son de primer orden, los de dos cifras pertenecen al segundo orden, los de tres son de tercer orden y los de cuatro cifras son del cuarto orden.
| U de M | Centena | Decena | Unidad | ||
| Cuarto orden | Tercer orden | Segundo orden | Primer orden | Desarrollo | Número |
| 7 | 8 | 70 + 8 | 78 | ||
| 3 | 9 | 9 | 300 + 90 + 9 | 399 | |
| 9 | 7 | 4 | 2 | 9 000 + 700 + 40 + 2 | 9742 |
El valor de un número depende de su posición en estos órdenes.
El llamado valor absoluto es aquel que tiene un número independientemente de su posición.
El valor relativo es el que tiene un número según la posición que ocupe en los órdenes.
Ejemplos:
U | C | D | U | Desarrollo con número y letra | Valor absoluto | Valor |
| 6 | 1 | 2 | 5 | 6 000 + 100 + 20 + 5 | 2 | 20 |
| 7 | 4 | 1 | 0 | 7 000 + 400 + 10 + 0 | 7 | 7 000 |
| 1 | 6 | 9 | 9 | 1 000 + 600 + 90 + 9 | 6 | 60 |
Para poder contar cifras hasta millares es importante conocer cuántas unidades, decenas y centenas tiene ese número.
1 decena tiene 10 unidades
| U de millar | Centena | Decena | Unidad |
| 1 | |||
| 1 | 0 |
1 centena tiene 100 unidades
| U de millar | Centena | Decena | Unidad |
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 |
1 millar tiene 1 000 unidades
| U de millar | Centena | Decena | Unidad |
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 |
Veamos unos ejemplos:
Si en una granja hay 120 gallinas ¿cuántas decenas hay?
Agrupando de 10 en 10 sabemos que hay 12 decenas.
Jaime tiene 20 billetes de $50 cada uno, pero necesita cambiarlo en billetes de 100. ¿Cuántos billetes de 100 tendrá al cambiarlos?
Para formar las centenas agrupamos dos billetes de $50.
Al agrupar los billetes de 50 sabemos que se formarán 10 centenas, por lo tanto obtendrá 10 billetes de $100.
En un juego de cartas, los soles valen 10, los tréboles rojos 100 y los negros valen 1000.
Jorge y Luis tienen los siguientes puntos en sus cartas.
¿Cuántos puntos obtuvo cada uno? Para ello debemos multiplicar por 10, 100 y 1000 los puntos que obtuvieron.
| Jorge obtuvo: | Luis obtuvo: |
| 2 tréboles negros x 1000 = 2 000 5 tréboles rojos x 100 = 500 10 soles x 10 = 100 | 1 trébol negro x 1000 = 1 000 19 tréboles rojos x 100 = 1 900 10 soles x 10 = 100 |
| 2 000 + 500 + 100 = 2 600 puntos | 1 000 + 1900 + 100 = 3 000 puntos |
Para la medición de objetos y cosas pequeñas el instrumento que utilizamos es la regla graduada y para objetos más grandes usamos elmetro, el cual tiene 100 centímetros.
Ejemplos: El peine mide 4 cm, la crayola mide 6 cm y el lápiz mide 10 cm.
Recuerda que el centímetro es un submúltiplo del metro, y para hacer conversiones entre ellos debemos hacer lo siguiente.
Para convertir de centímetros a metros, multiplicamos por 100 o lo que es lo mismo, recorremos el punto decimal dos lugares a la derecha.
Esto es porque 1 metro = 100 centímetros.
Veámoslo gráficamente en la siguiente tabla:
| Unidad | submúltiplos | ||
| metro | dm | cm | Mm |
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | |
2 metros = 200 cm (2 x 100 = 200)
5 metros = 500 cm (5 x 100 = 500)
Para convertir de centímetros a metros, dividimos entre 100 o lo que es lo mismo, recorremos el punto decimal dos lugares a la izquierda.
Esto es porque 100 centímetros = 1 metro.
Veámoslo gráficamente en la siguiente tabla:
| Unidad | submúltiplos | ||
| metro | dm | cm | Mm |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | |||
200 cm = 2 metros (200 : 100 = 2)
500 cm = 5 m (500 : 100 = 5)
Las tablas de variación proporcional sirven para conocer si dos cantidades se relacionan entre sí, de manera que cuando aumenta o disminuyeuna cantidad, la otra también presenta algún cambio.
Los comerciantes las utilizan frecuentemente para saber si sus ventas corresponden con el monto de dinero que han cobrado.
Ejemplo: Un señor vende globos en un parque. Para facilitar su trabajo, hizo una tabla donde anotó cuánto debe cobrar por el número de globos.
| Cantidad de globos | Lo que tiene que cobrar |
| 1 | $ 3.00 |
| 2 | $ 6.00 |
| 3 | $ 9.00 |
| 4 | $ 12.00 |
| 5 | $ 15.00 |
| 6 | $ 18.00 |
| 7 | $ 21.00 |
En la tabla, a medida que aumenta el número de globos se incrementan 3 pesos por cada uno.
La unidad de medidas de capacidad es el litro. Esta unidad se simboliza con la letra l.
Numerosos alimentos líquidos como la leche, por ejemplo, se envasan en litros.
Un litro equivale aproximadamente a 4 vasos de ¼ de litro.
En el sistema decimal, los objetos se agrupan por decenas y se usa el valor de posición para escribir las cantidades correspondientes a losnúmeros. Este agrupamiento por decenas probablemente está relacionado con el hecho de que el hombre tiene 10 dedos en las manos.
En la siguiente ilustración, las líneas rojas y azules unen grupos de decenas, los cuadros verdes enmarcan las centenas y el recuadro morado ilumina las unidades de millar. Gracias a que este agrupamiento con colores podemos saber fácilmente el número total de cuadros.
Si contamos las líneas rojas y azules veremos que hay 148 decenas; y si contamos los cuadros verdes nos daremos cuenta de que hay 14 centenas, y con esta misma lógica veremos que el morado ilumina una unidad de millar, y que sobran 6 cuadros.
Así podemos saber que en total hay 1 486 cuadros.
También por desagrupamiento podemos saber que si a 148 decenas le quitamos 8 decenas tendremos 14 centenas, y si a estas centenas le quitamos cuatro centenas nos quedaremos con una unidad de millar.
Existen actividades o juegos en los que interviene el azar o suerte, por eso no sabemos qué va a suceder. En cambio, hay otros en donde no interviene la suerte, sino la habilidad para razonar de manera lógica e impedir que nos gane el contrincante.
Ejemplos de juegos de azar son: lanzar un dado, jugar a los volados, o jugar a la lotería.
Los juegos donde no interviene el azar son, por ejemplo: el ajedrez, los deportes y los acertijos matemáticos.
Ejemplo:
Encontrar el número mayor representado por un numeral de cuatro dígitos, sin que se repitan.
Primero pensamos cuál es número más grande que podríamos formar con cuatro dígitos: 9 999, pero como no podemos repetir los dígitos, entonces pensamos en un número diferente que 9 pero que pueda tener el más alto valor en ese orden (8), después en otro número diferente pero también con el máximo valor posible (7), después repetimos la operación (6).
El número es 9876.
Como se observa, para resolver juegos donde no se presenta el azar, basta con aplicar nuestro sentido de lógica y razonamiento y leer con atención las preguntas que nos hacen.
Por ejemplo, en la siguiente pregunta:
¿Cuántos animales metió Moisés en el arca?
Pues ninguno, porque quien metió a los animales fue Noé, no Moisés
Una fracción es la división de un objeto en partes iguales. La fracción se compone de dos números llamados numerador y denominador.
Las fracciones más usuales son las siguientes:
Además de un medio, un tercio y un cuarto, un entero puede dividirse en más partes. Por ejemplo:
Lo mismo pasaría si unieras dos partes iguales de un entero dividido en 6, la fracción que se obtendría sería:
El algoritmo es un conjunto o sistema de reglas que se utilizan para resolver una operación, en este caso, una división.
La regla de comprobación cuando la división es exacta es la siguiente:
Ejemplo:
Para comprobar el dividendo de esta operación, procedemos a multiplicar el cociente obtenido por el divisor.
14 x 3 = 42
Cuando la división no es exacta, como en el siguiente ejemplo, la comprobación se realiza de la siguiente forma.
Otro método de resolver la división es dividiendo primero las centenas, después las decenas y por último las unidades, como se muestra a continuación:
Es importante recordar que en la división, el cociente multiplicado por el divisor es igual al dividendo.
La división es la operación inversa a la multiplicación, que tiene por propósito encontrar un número llamado cociente que indique cuántas veces cabe el divisor en el dividendo.
Ejemplo:
¿Cuántas veces cabe la regla de 4 cm en la regla de 12 cm?
Para contestar esta pregunta localizamos los datos y realizamos la siguiente operación:
En este ejemplo puedes observar que el cociente multiplicado por el divisor es igual al dividendo:
A la primera parte de la división se le llama primer término, es decir, donde se localizan el dividendo y el divisor y al resultado segundo término.
Para comprobar que una división es correcta, el divisor pasa al segundo término multiplicando al cociente y este resultado nos dará el dividendo.
La unidad de las medidas de tiempo es el segundo.
Las equivalencias más comunes en cuanto a medidas de tiempo son:
Minuto = 60 segundos Hora = 60 minutos
Día = 24 horas Semana = 7 días
Mes = 30 días Año = 12 meses
El reloj es el instrumento con el cual se mide el tiempo.
La manecilla más larga es la que marca los minutos, por eso se le llama minutero.
La manecilla más pequeña marca las horas, por eso se le llama horario. También existe otra manecilla más delgada y que avanza rápidamente, ésta se le llama segundero, porque marca los segundos.
Como una hora tiene 60 minutos entre cada número del reloj hay 5 minutos, que en algunos relojes se marcan con pequeñas rayitas.
Cuando el minutero no se localiza en el 12 se debe observar cuántos minutos ha avanzado para poder leer la hora.
Ejemplos:
Tomando en cuenta que una hora es equivalente a 60 minutos, entonces:
hora = 15 minutos
hora = 30 minutos
de hora = 45 minutos
Cuando el minutero marca el 3 esto significa que ha avanzado 15 minutos o un cuarto de hora. Si el minutero marca el número 6, significa que ha avanzado treinta minutos o media hora. Cuando el minutero marca el 9, significa que ha avanzado 45 minutos, es decir, que faltan 15 minutos o un cuarto para llegar al a hora recorrida.
Para leer y escribir números que tengan unidades de millar, es necesario ordenarlos de acuerdo con la siguiente forma:
Clase de los millares | Clase de las unidades simples | ||||
| Centenas de millar | Decenas de millar | Unidades de millar | Centenas | Decenas | Unidades |
| C de M | D de M | U de M | C | D | U |
Los números con unidades de unidades de millar se inician a partir del 1000.
A partir de esta clase, los números se leen y escriben comenzando por la palabra mil. Ejemplos:
| 1001 | 1002 | 1003 | 1004 |
| Mil uno | Mil dos | Mil tres | Mil cuatro |
| 1005 | 1006 | 1007 | 1008 |
| Mil cinco | Mil seis | Mil siete | Mil ocho |
| 1100 | 1200 | 1300 | 1400 |
| Mil cien | Mil doscientos | Mil trescientos | Mil cuatrocientos |
| 1500 | 1600 | 1700 | 1800 |
| Mil quinientos | Mil seiscientos | Mil setecientos | Mil ochocientos |
Otra forma de leerlos y escribirlos es mediante notación desarrollada, es decir, sumando los valores de cada número de acuerdo con el lugar que ocupa en cada clase:
Ejemplo:
Orden | Desarrollo con número y letra | Número | |||
U d M | C | D | U | ||
| 1 | 3 | 4 | 5 | = 1000 + 300 + 40 + 5 mil trescientos cuarenta cinco | 1345 |
| 1 | 9 | 9 | 2 | = 1000 + 900 + 90 + 2 mil novecientos noventa dos | 1992 |
Los números con cifras se leen de izquierda a derecha.
Los números se inician leyendo la clase de la izquierda y se agrega la palabra mil.
Cuando un número tiene hasta cinco cifras se dice que tiene decenas de millar.
Clase de los millares | Clase de las unidades simples | ||||
| Centenas de millar | Decenas de millar | Unidades de millar | Centenas | Decenas | Unidades |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
Los números con decenas de millar comienzan a partir del 10 000 hasta el 99 999.
Por ejemplo:
Los números a partir de 10 000 se usan generalmente para medir o contar grandes cantidades, por ejemplo: el precio de un automóvil, el territorio de nuestro país, el largo de un río.
Los números ordinales son aquellos que nos indican el lugar que ocupa un objeto que pertenece a un grupo ordenado.
Por ejemplo, para indicar el lugar que ocupó un deportista en una competencia, el número de piso de un edificio, el número de tomo de una enciclopedia.
Para distinguir los números ordinales, se le agrega un pequeño círculo elevado.
Los números ordinales del 1 al 20 son:
Del número ordinal 11° al 19° se escriben con una sola palabra, y a partir del 21°, los números ordinales se escriben con dos palabras.
Cuando no se cuenta con instrumentos geométricos graduados para medir longitudes y superficies, se usan medidas arbitrarias.
Éstas pueden ser un lápiz, el dedo de tu mano, o una tablita.
A continuación te presentamos un ejemplo de cómo pueden usarse las medidas arbitrarias.
Cuando murió el marqués de Carabás, el Gato con Botas tenía que repartir la tierra que había dejado su amo como herencia entre sus cuatro hijos: Rigoberto, Griselda, Lorenzo y Anastasia. Primero se le ocurrió repartir el terreno de acuerdo con la edad que tenía cada uno. Así que hizo 4 parcelas utilizando un triángulo.
Estas son las parcelas de cada uno:
Griselda
Anastasia
Rigoberto
Lorenzo
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales.
Por ejemplo: si sumamos 5 veces el número 4 tendríamos:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
lo cual podemos representar de la siguiente forma:
5 x 4 = 20 (5 veces 4 = 20)
Una característica de la multiplicación es que el orden de sus factores no altera el resultado (producto), por ejemplo:
Otra forma de resolver multiplicaciones es mediante el conteo de filas e hileras.
Cuando dos personas juegan a los volados ninguna sabe quién va a ganar. A este tipo de juegos se les llama juegos de azar.
Hay otros hechos en los que se pueden hacer una predicción si se toma en cuenta lo que ha sucedido con anterioridad, es decir, si contamos con la información necesaria. Por ejemplo, si todos los domingos de un año ha ido mucha gente al parque, puede suponerse que el próximo domingo también sucederá.
Por lo tanto, los juegos de azar son aquellos en los que se gana por casualidad. A veces, aunque no sepamos qué ocurrirá con certeza, podemos pensar que resulta más probable que suceda algo si contamos con información sobre el suceso.
En la feria, nadie puede ver el interior de una caja que contiene varios premios sorpresa, pero todos sabemos que dentro hay 6 coches, 4 pelotas, 3 libros y un oso de peluche.
Si metemos la mano y sacamos un objeto es más fácil que nos ganemos un coche que un libro porque hay más coches que libros.
El premio más difícil de ganar es el oso de peluche porque sólo hay uno.
Pero lo que es imposible ganarse es un chocolate porque sabemos que dentro de la caja no hay chocolates.
Entonces, podemos decir que los fenómenos seguros son aquellos que sabemos con certeza que van a ocurrir. Por ejemplo: que día será mañana, cuando es nuestro cumpleaños.
Fenómenos azarosos son aquellos que nos sabemos qué ocurrirá, pero tienen dos o más posibilidades de ocurrir. Cuando se dan estos fenómenos, se dice que hay más o menos probabilidad que ocurra. Por ejemplo: si en una caja hay focos rojos y verdes pero hay mayor cantidad de focos rojos color, la probabilidad de que saque un foco de este color es mayor.
El metro y el centímetro nos sirven para medir longitudes y distancias.
Si usamos una regla graduada nos será fácil comparar la longitud de diversos objetos, pues con ella podremos saber el número de centímetrosque tiene cada uno. Desde luego que cuando los objetos que se comparan son demasiado grandes como para medirse con una regla pequeña, entonces utilizamos el metro.
Tomando esto en consideración, resolvamos los siguientes problemas:
1. ¿Cuál será la longitud de un tren de carga que tiene una locomotora de 15 metros y cinco furgones que miden aproximadamente 9 metros de largo cada uno?
Recuerda que para resolver cualquier problema, debemos identificar los datos que nos proporciona y después plantear la o las operaciones que debemos realizar y efectuarlas.
| Datos | Planteamiento | Operaciones |
| Locomotora mide 15 m
Hay 5 furgones; cada uno mide 9 m.
| Calcular la longitud de los 5 furgones, multiplicando lo que mide cada uno (9m) x 5:
Agregar al resultado obtenido lo que mide la locomotora:
| 9 x 5 = 45 m
45 + 15 = 60 metros.
La longitud del tren es de 60 m |
2. ¿Qué altura alcanzarán seis cajas de zapatos si cada una mide 15 centímetros de altura?
Utilizando el procedimiento anterior, tenemos:
| Datos | Planteamiento | Operaciones |
| 6 cajas de zapatos.
Cada una mide de altura 15 cm.
| Calcular la altura de las 6 cajas, ya sea sumando 6 veces la altura, o bien multiplicando 6 x 15:
| 6 x 15= 90 cm
Alcanzarán una altura de 90 cm.
|
Estas cantidades sumadas nos dan un total de 90 centímetros.
Hay juegos que dependen del azar y en los cuales no sabes si vas a ganar o perder, pero hay otros en los que el resultado depende de losconocimientos, atención, imaginación o concentración. Sobre estos últimos nos vamos a ejercitar ahora; pare ello imprime esta página y resuelve los siguientes problemas.
1. Completa los números para que la suma de cada hilera del triángulo resulte 20.
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