Recta real y conjuntos numéricos

Concepto básico de la recta real ubicando los conjuntos numéricos conocidos:

• Números naturales,
• Números enteros,
• racionales e irracionales para formar finalmente el conjunto de todos los números reales.
• Se muestra como dentro de la recta podemos determinar si un número dado es mayor o menor a otro.

Vamos a hablar en un concepto muy importante en las matemáticas, y ese concepto es la recta real, es una recta que de hecho nos va ayudar a conocer mejor los conjuntos numéricos que conocemos, empecemos por los números más usuales, o los más usados, los números naturales, son los que sirven para contar las cosas que tenemos, 1 objeto, 2 objetos, 3 objetos, etcétera. En este video asumiremos que el texto está dentro de los números naturales apartándonos de la discusión de si está en los números naturales o no, para hacer la recta real vamos a trazar una línea, en el medio de ésta ubicaremos al 0, y hacia la derecha de éste ubicaremos los números naturales, 1, 2, 3… y podemos también sobre pasar a éstos, 10, 11, 12… Este conjunto ubicado a la derecha del 0 puede ser nombrado como “enteros positivos” y hacia la izquierda del 0 puedo ubicar los números “enteros negativos” -1, -2, -3… Ambos conjuntos, el de la derecha y el de la izquierda del 0, juntos, se llaman “los números enteros”, pero no todo puede ser representado por números enteros, porque se pueden tener medias partes, surgen así los números racionales, o fraccionarios ½, 2/4, 4/8… pero hay números que no son enteros, y que no pueden ser representados puesto que tampoco son fraccionarios, así como “el número pi”, estos números son los irracionales, la unión de los enteros positivos, enteros negativos, racionales e irracionales, produce los números reales, o sea todos los que se pueden graficar en la recta real, la recta de los reales es un concepto que gráficamente nos puede ayudar a comprender conceptos como mayor o menor que, o igual, para saber si un número es mayor o menor que otro debemos saber que si se trata de números enteros positivos, el número que esté más lejos del cero es el número mayor, si se trata de los números enteros negativos el número más cerca al 0 será el mayor.

se muestra como a través del conteo y el usos del concepto de recta real podemos sumar dos números de una sola cifra y como el concepto se extiende para números de más cifras. La suma es una operación donde a un número cualquiera le agregamos otro, teniendo como resultado el conteo de los elementos que representa el primer número adicionado al conteo de los elementos que representa el segundo. Hacer el conteo total de dichas unidades es la suma de ambos números. Si tenemos conteos más grande será dificultoso realizar la suma de los elementos con dibujos, por ello existen métodos que permiten realizar suma más grandes que serán presentados en otros videos, por ahora nos enfocaremos en aprender a interpretar sumas cuando tenemos números de una sola cifra. Una forma con la que podemos agilizar estos ejercicios es contar a partir del primer número las unidades adicionales del otro. Otra forma de ver la suma es a través del concepto de la recta real, que ha sido mencionado anteriormente, en la que se pueden ubicar todos los números que conocemos. En la recta real cuando se nos presenta una suma solo es necesario contar las unidades del primer número y continuamente las del segundo, y donde termine ese conteo es el resultado. La suma la podemos realizar contando objetos o moviéndonos a través de la recta real la cual funcionará también para números grandes.

Suma y resta de números de tres cifras con algoritmo

La suma es el resultado de la adición u operación de sumar. Existen varios métodos para sumar.

Ejemplo:

 

656 +  244     618

Paso 1 Primero se suman las unidades            1 656 + 244    618 8    como el resultado obtenido es 18, se convierte este número en 8 unidades y 1 decena

Paso 2 Se suman las decenas y se convierte el resultado (11) a 1 decena y 1 centena         11 656 + 244     618 18

Paso 3 Se suman las centenas         11 656 + 244     618 1518

Otra forma de resolverla es de izquierda y derecha. Observa el ejemplo.

Primero se acomodan los números en tres columnas, y se procede a sumar las centenas de todos los números, es decir, los de la primera columna de la izquierda:

 

6	5	6
2	4	4
6	1	8
14	10	18

El resultado es 14 centenas es decir 14 veces 100 = 1 400

El segundo paso es sumar la segunda columna, es decir, las decenas. El resultado es 10 decenas, es decir, 10 veces 10 = 100.

El tercer paso es la suma de la tercera columna, es decir, las unidades. El resultado es 18.

Después se suman los tres resultados obtenidos:

        1400
+    100
         18
1518

Para comprobar si nuestra suma es correcta, se resta de manera progresiva los resultados obtenidos:

_ 1518    Del total restamos las centenas
      1400
_  118
    100   Del total restamos las decenas
_  18
    18   Del total restamos las unidades
0  Si el resultado es cero la suma es correcta.

 

Análisis de valor posicional

Valor posicional es el valor que tiene cada número según el orden y la cantidad de cifras que tengan. Los de una cifra son de primer orden, los de dos cifras pertenecen al segundo orden, los de tres son de tercer orden y los de cuatro cifras son del cuarto orden.

U de M	Centena	Decena	Unidad
Cuarto orden	Tercer orden	Segundo orden	Primer orden	Desarrollo	Número
		7	8	70 + 8	78
	3	9	9	300 + 90 + 9	399
9	7	4	2	9 000 + 700 + 40 + 2	9742

El valor de un número depende de su posición en estos órdenes.

El llamado valor absoluto es aquel que tiene un número independientemente de su posición.

El valor relativo es el que tiene un número según la posición que ocupe en los órdenes.

 

Ejemplos:

U d M	C	D	U	Desarrollo con número y letra	Valor absoluto	Valor relativo
6	1	2	5	6 000 + 100 + 20 + 5	2	20
7	4	1	0	7 000 + 400 + 10 + 0	7	7 000
1	6	9	9	1 000 + 600 + 90 + 9	6	60

Conteo de objetos mediante agrupamiento de decenas, centenas y millares

Para poder contar cifras hasta millares es importante conocer cuántas unidades, decenas y centenas tiene ese número.

1 decena tiene 10 unidades

U de millar	Centena	Decena	Unidad
		1
		1	0

 

1 centena tiene 100 unidades

 

U de millar	Centena	Decena	Unidad
	1
	1	0	0

 

1 millar tiene 1 000 unidades

U de millar	Centena	Decena	Unidad
1
1	0	0	0

 

Veamos unos ejemplos:

Si en una granja hay 120 gallinas ¿cuántas decenas hay?

Agrupando de 10 en 10 sabemos que hay 12 decenas.

Jaime tiene 20 billetes de $50 cada uno, pero necesita cambiarlo en billetes de 100. ¿Cuántos billetes de 100 tendrá al cambiarlos?

Para formar las centenas agrupamos dos billetes de $50.

Al agrupar los billetes de 50 sabemos que se formarán 10 centenas, por lo tanto obtendrá 10 billetes de $100.

En un juego de cartas, los soles valen 10, los tréboles rojos 100 y los negros valen 1000.

Jorge y Luis tienen los siguientes puntos en sus cartas.

¿Cuántos puntos obtuvo cada uno? Para ello debemos multiplicar por 10, 100 y 1000 los puntos que obtuvieron.

Jorge obtuvo:	Luis obtuvo:
2 tréboles negros x 1000 = 2 000 5 tréboles rojos x 100 = 500 10 soles x 10 = 100	1 trébol negro x 1000 = 1 000 19 tréboles rojos x 100 = 1 900 10 soles x 10 = 100
2 000 + 500 + 100 = 2 600 puntos	1 000 + 1900 + 100 = 3 000 puntos

El centímetro como unidad para medir longitudes y distancias

Para la medición de objetos y cosas pequeñas el instrumento que utilizamos es la regla graduada y para objetos más grandes usamos elmetro, el cual tiene 100 centímetros.

Ejemplos: El peine mide 4 cm, la crayola mide 6 cm y el lápiz mide 10 cm.

Recuerda que el centímetro es un submúltiplo del metro, y para hacer conversiones entre ellos debemos hacer lo siguiente.

Para convertir de centímetros a metros, multiplicamos por 100 o lo que es lo mismo, recorremos el punto decimal dos lugares a la derecha.

Esto es porque 1 metro = 100 centímetros.

Veámoslo gráficamente en la siguiente tabla:

 

Unidad	submúltiplos
metro	dm	cm	Mm
1
1	0	0

 

2 metros = 200 cm (2 x 100 = 200)

5 metros = 500 cm (5 x 100 = 500)

 

Para convertir de centímetros a metros, dividimos entre 100 o lo que es lo mismo, recorremos el punto decimal dos lugares a la izquierda.

Esto es porque 100 centímetros = 1 metro.

Veámoslo gráficamente en la siguiente tabla:

 

Unidad	submúltiplos
metro	dm	cm	Mm
1	0	0
1

 

200 cm = 2 metros (200 : 100 = 2)

500 cm = 5 m (500 : 100 = 5)

laboración de tablas de variación proporcional

Las tablas de variación proporcional sirven para conocer si dos cantidades se relacionan entre sí, de manera que cuando aumenta o disminuyeuna cantidad, la otra también presenta algún cambio.

Los comerciantes las utilizan frecuentemente para saber si sus ventas corresponden con el monto de dinero que han cobrado.

Ejemplo: Un señor vende globos en un parque. Para facilitar su trabajo, hizo una tabla donde anotó cuánto debe cobrar por el número de globos.

 

Cantidad de globos	Lo que tiene que cobrar
1	$  3.00
2	$  6.00
3	$  9.00
4	$ 12.00
5	$ 15.00
6	$ 18.00
7	$ 21.00

En la tabla, a medida que aumenta el número de globos se incrementan 3 pesos por cada uno.

Empleo de litro, medio litro y cuarto de litro

La unidad de medidas de capacidad es el litro. Esta unidad se simboliza con la letra l.

Numerosos alimentos líquidos como la leche, por ejemplo, se envasan en litros.

Un litro equivale aproximadamente a 4 vasos de ¼ de litro.

Estimación de cantidades por agrupamientos y desagrupamientos

En el sistema decimal, los objetos se agrupan por decenas y se usa el valor de posición para escribir las cantidades correspondientes a losnúmeros. Este agrupamiento por decenas probablemente está relacionado con el hecho de que el hombre tiene 10 dedos en las manos.

En la siguiente ilustración, las líneas rojas y azules unen grupos de decenas, los cuadros verdes enmarcan las centenas y el recuadro morado ilumina las unidades de millar. Gracias a que este agrupamiento con colores podemos saber fácilmente el número total de cuadros.

Si contamos las líneas rojas y azules veremos que hay 148 decenas; y si contamos los cuadros verdes nos daremos cuenta de que hay 14 centenas, y con esta misma lógica veremos que el morado ilumina una unidad de millar, y que sobran 6 cuadros.

Así podemos saber que en total hay 1 486 cuadros.

También por desagrupamiento podemos saber que si a 148 decenas le quitamos 8 decenas tendremos 14 centenas, y si a estas centenas le quitamos cuatro centenas nos quedaremos con una unidad de millar.

Identificación de estrategias en juegos numéricos en que no interviene el azar

Existen actividades o juegos en los que interviene el azar o suerte, por eso no sabemos qué va a suceder. En cambio, hay otros en donde no interviene la suerte, sino la habilidad para razonar de manera lógica e impedir que nos gane el contrincante.

     Ejemplos de juegos de azar son: lanzar un dado, jugar a los volados, o jugar a la lotería.

     Los juegos donde no interviene el azar son, por ejemplo: el ajedrez, los deportes y los acertijos matemáticos.

     Ejemplo:

     Encontrar el número mayor representado por un numeral de cuatro dígitos, sin que se repitan.

     Primero pensamos cuál es número más grande que podríamos formar con cuatro dígitos: 9 999, pero como no podemos repetir los dígitos, entonces pensamos en un número diferente que 9 pero que pueda tener el más alto valor en ese orden (8), después en otro número diferente pero también con el máximo valor posible (7), después repetimos la operación (6).

     El número es 9876.

Como se observa, para resolver juegos donde no se presenta el azar, basta con aplicar nuestro sentido de lógica y razonamiento y leer con atención las preguntas que nos hacen.

     Por ejemplo, en la siguiente pregunta:

     ¿Cuántos animales metió Moisés en el arca?

     Pues ninguno, porque quien metió a los animales fue Noé, no Moisés

Introducción a la noción de fracción

Una fracción es la división de un objeto en partes iguales. La fracción se compone de dos números llamados numerador y denominador.

Las fracciones más usuales son las siguientes:

• Un medio es una de las 2 partes iguales en que se divide un entero.
• Un tercio es una de las 3 partes iguales en que se divide un entero.
• Un cuarto es una de las 4 partes iguales en que se divide un entero.

Además de un medio, un tercio y un cuarto, un entero puede dividirse en más partes. Por ejemplo:

• Un quinto es una de las 5 partes iguales en que se divide el entero.
• Un sexto es una las 6 partes iguales en que se divide el entero.
• Un séptimo es una las 7 partes iguales en que se divide el entero.
• Si unieras dos partes iguales de un entero dividido en 5, se obtendría: _____________

Lo mismo pasaría si unieras dos partes iguales de un entero dividido en 6, la fracción que se obtendría sería:

• Un octavo es una de las 8 partes iguales en que se divide el entero.
• Un noveno es una de las 9 partes iguales en que se divide un entero.
• Un décimo es una de las 10 partes iguales en que se divide el entero.
• Un doceavo es una de las 12 partes iguales en que se divide el entero.

La división y su algoritmo

El algoritmo es un conjunto o sistema de reglas que se utilizan para resolver una operación, en este caso, una división.

La regla de comprobación cuando la división es exacta es la siguiente:

Ejemplo:

Para comprobar el dividendo de esta operación, procedemos a multiplicar el cociente obtenido por el divisor.

14 x 3 = 42

Cuando la división no es exacta, como en el siguiente ejemplo, la comprobación se realiza de la siguiente forma.

Otro método de resolver la división es dividiendo primero las centenas, después las decenas y por último las unidades, como se muestra a continuación:

Es importante recordar que en la división, el cociente multiplicado por el divisor es igual al dividendo.

La división: introducción

La división es la operación inversa a la multiplicación, que tiene por propósito encontrar un número llamado cociente que indique cuántas veces cabe el divisor en el dividendo.

          Ejemplo:

     ¿Cuántas veces cabe la regla de 4 cm en la regla de 12 cm?

     Para contestar esta pregunta localizamos los datos y realizamos la siguiente operación:

     En este ejemplo puedes observar que el cociente multiplicado por el divisor es igual al dividendo:

     A la primera parte de la división se le llama primer término, es decir, donde se localizan el dividendo y el divisor y al resultado segundo término.

     Para comprobar que una división es correcta, el divisor pasa al segundo término multiplicando al cociente y este resultado nos dará el dividendo.

Lectura del reloj de manecillas

La unidad de las medidas de tiempo es el segundo.

Las equivalencias más comunes en cuanto a medidas de tiempo son:

Minuto = 60 segundos      Hora = 60 minutos

Día = 24 horas               Semana = 7 días

Mes = 30 días                Año = 12 meses

El reloj es el instrumento con el cual se mide el tiempo.

La manecilla más larga es la que marca los minutos, por eso se le llama minutero.

La manecilla más pequeña marca las horas, por eso se le llama horario. También existe otra manecilla más delgada y que avanza rápidamente, ésta se le llama segundero, porque marca los segundos.

Como una hora tiene 60 minutos entre cada número del reloj hay 5 minutos, que en algunos relojes se marcan con pequeñas rayitas.

Cuando el minutero no se localiza en el 12 se debe observar cuántos minutos ha avanzado para poder leer la hora.

Ejemplos:

Tomando en cuenta que una hora es equivalente a 60 minutos, entonces:

 hora = 15 minutos

 hora = 30 minutos

de hora = 45 minutos

Cuando el minutero marca el 3 esto significa que ha avanzado 15 minutos o un cuarto de hora. Si el minutero marca el número 6, significa que ha avanzado treinta minutos o media hora. Cuando el minutero marca el 9, significa que ha avanzado 45 minutos, es decir, que faltan 15 minutos o un cuarto para llegar al a hora recorrida.

Lectura y escritura de números hasta 1 500

Para leer y escribir números que tengan unidades de millar, es necesario ordenarlos de acuerdo con la siguiente forma:

• Las tres primeras cifras de derecha a izquierda forman la clase de las unidades simples y las tres siguientes los millares.

Clase de los millares			Clase de las unidades simples
Centenas de millar	Decenas de millar	Unidades de millar	Centenas	Decenas	Unidades
C de M	D de M	U de M	C	D	U

Los números con unidades de unidades de millar se inician a partir del 1000.

A partir de esta clase, los números se leen y escriben comenzando por la palabra mil. Ejemplos:

1001	1002	1003	1004
Mil uno	Mil dos	Mil tres	Mil cuatro
1005	1006	1007	1008
Mil cinco	Mil seis	Mil siete	Mil ocho
1100	1200	1300	1400
Mil cien	Mil doscientos	Mil trescientos	Mil cuatrocientos
1500	1600	1700	1800
Mil quinientos	Mil seiscientos	Mil setecientos	Mil ochocientos

Otra forma de leerlos y escribirlos es mediante notación desarrollada, es decir, sumando los valores de cada número de acuerdo con el lugar que ocupa en cada clase:

Ejemplo:

Orden				Desarrollo con número y letra	Número
U d M	C	D	U
1	3	4	5	=  1000  +        300         +       40        +     5 mil        trescientos        cuarenta       cinco	1345
1	9	9	2	=  1000  +        900         +       90        +     2 mil        novecientos       noventa         dos	1992

Lectura y escritura de números hasta de cinco cifras

Los números con cifras se leen de izquierda a derecha.

Los números se inician leyendo la clase de la izquierda y se agrega la palabra mil.

Cuando un número tiene hasta cinco cifras se dice que tiene decenas de millar.

Clase de los millares			Clase de las unidades simples
Centenas de millar	Decenas de millar	Unidades de millar	Centenas	Decenas	Unidades
1	0	0	0	0	0
9	9	9	9	9	9

 

Los números con decenas de millar comienzan a partir del 10 000 hasta el 99 999.

Por ejemplo:

• • El número 20 000 se lee veinte mil.
  • El 30 008 se lee treinta mil ocho.

Los números a partir de 10 000 se usan generalmente para medir o contar grandes cantidades, por ejemplo: el precio de un automóvil, el territorio de nuestro país, el largo de un río.

Lectura y escritura de números ordinales

Los números ordinales son aquellos que nos indican el lugar que ocupa un objeto que pertenece a un grupo ordenado.

Por ejemplo, para indicar el lugar que ocupó un deportista en una competencia, el número de piso de un edificio, el número de tomo de una enciclopedia.

Para distinguir los números ordinales, se le agrega un pequeño círculo elevado.

Los números ordinales del 1 al 20 son:

Del número ordinal 11° al 19° se escriben con una sola palabra, y a partir del 21°, los números ordinales se escriben con dos palabras.

Medición y comparación de áreas utilizando unidades de medida arbitrarias

Cuando no se cuenta con instrumentos geométricos graduados para medir longitudes y superficies, se usan medidas arbitrarias.

Éstas pueden ser un lápiz, el dedo de tu mano, o una tablita.

A continuación te presentamos un ejemplo de cómo pueden usarse las medidas arbitrarias.

Cuando murió el marqués de Carabás, el Gato con Botas tenía que repartir la tierra que había dejado su amo como herencia entre sus cuatro hijos: Rigoberto, Griselda, Lorenzo y Anastasia. Primero se le ocurrió repartir el terreno de acuerdo con la edad que tenía cada uno. Así que hizo 4 parcelas utilizando un triángulo.

Estas son las parcelas de cada uno:

Griselda

• La parcela de Griselda ocupa 6 triángulos; por lo tanto tiene 6 años.

Anastasia

• La parcela de Anastasia ocupa 8 triángulos; por lo tanto tiene 8 años.

Rigoberto

• La parcela de Rigoberto ocupa 6 triángulos; por lo tanto tiene 6 años.

Lorenzo

• La parcela de Lorenzo ocupa 10 triángulos; por lo tanto tiene 10 años.
• Después de analizar las parcelas, sabemos que el mayor de los hijos del marqués de Carabás es Lorenzo, que Anastasia es la hermana mediana y que Griselda y Rigoberto tienen la misma edad.
• Si sumamos los triángulos, veremos que entre todos tiene 30 triángulos.
• Los herederos no estuvieron de acuerdo con la repartición propuesta y decidieron que lo mejor era que todos tuvieran lo mismo. En agradecimiento, le regalaron al Gato con Botas dos triángulos de terreno, por lo que la repartición quedó así.

Multiplicación con multiplicando de dos cifras. Uso del algoritmo horizontal y vertical

La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales.

Por ejemplo: si sumamos 5 veces el número 4 tendríamos:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

lo cual podemos representar de la siguiente forma:

5 x 4 = 20 (5 veces 4 = 20)

• Multiplicando:que es el sumando que se repite.
• Multiplicador: es el número de veces que se repite el sumando.
• Producto: Es el resultado de la multiplicación.

Una característica de la multiplicación es que el orden de sus factores no altera el resultado (producto), por ejemplo:

Otra forma de resolver multiplicaciones es mediante el conteo de filas e hileras.

Predicción de hechos y sucesos en los que no interviene el azar

Cuando dos personas juegan a los volados ninguna sabe quién va a ganar. A este tipo de juegos se les llama juegos de azar.

Hay otros hechos en los que se pueden hacer una predicción si se toma en cuenta lo que ha sucedido con anterioridad, es decir, si contamos con la información necesaria. Por ejemplo, si todos los domingos de un año ha ido mucha gente al parque, puede suponerse que el próximo domingo también sucederá.

Por lo tanto, los juegos de azar son aquellos en los que se gana por casualidad. A veces, aunque no sepamos qué ocurrirá con certeza, podemos pensar que resulta más probable que suceda algo si contamos con información sobre el suceso.

En la feria, nadie puede ver el interior de una caja que contiene varios premios sorpresa, pero todos sabemos que dentro hay 6 coches, 4 pelotas, 3 libros y un oso de peluche.

Si metemos la mano y sacamos un objeto es más fácil que nos ganemos un coche que un libro porque hay más coches que libros.

El premio más difícil de ganar es el oso de peluche porque sólo hay uno.

Pero lo que es imposible ganarse es un chocolate porque sabemos que dentro de la caja no hay chocolates.

Entonces, podemos decir que los fenómenos seguros son aquellos que sabemos con certeza que van a ocurrir. Por ejemplo: que día será mañana, cuando es nuestro cumpleaños.

Fenómenos azarosos son aquellos que nos sabemos qué ocurrirá, pero tienen dos o más posibilidades de ocurrir. Cuando se dan estos fenómenos, se dice que hay más o menos probabilidad que ocurra. Por ejemplo: si en una caja hay focos rojos y verdes pero hay mayor cantidad de focos rojos color, la probabilidad de que saque un foco de este color es mayor.

Problemas de medición

El metro y el centímetro nos sirven para medir longitudes y distancias.

Si usamos una regla graduada nos será fácil comparar la longitud de diversos objetos, pues con ella podremos saber el número de centímetrosque tiene cada uno. Desde luego que cuando los objetos que se comparan son demasiado grandes como para medirse con una regla pequeña, entonces utilizamos el metro.

Tomando esto en consideración, resolvamos los siguientes problemas:

1. ¿Cuál será la longitud de un tren de carga que tiene una locomotora de 15 metros y cinco furgones que miden aproximadamente 9 metros de largo cada uno?

Recuerda que para resolver cualquier problema, debemos identificar los datos que nos proporciona y después plantear la o las operaciones que debemos realizar y efectuarlas.

2. ¿Qué altura alcanzarán seis cajas de zapatos si cada una mide 15 centímetros de altura?

Utilizando el procedimiento anterior, tenemos:

Datos	Planteamiento	Operaciones
6 cajas de zapatos.   Cada una mide de altura 15 cm.	Calcular la altura de las 6 cajas, ya sea sumando 6 veces la altura, o bien multiplicando 6 x 15:	6 x 15= 90 cm   Alcanzarán una altura de 90 cm.

Estas cantidades sumadas nos dan un total de 90 centímetros.

Realización de juegos en los que no interviene el azar

Hay juegos que dependen del azar y en los cuales no sabes si vas a ganar o perder, pero hay otros en los que el resultado depende de losconocimientos, atención, imaginación o concentración. Sobre estos últimos nos vamos a ejercitar ahora; pare ello imprime esta página y resuelve los siguientes problemas.

1. Completa los números para que la suma de cada hilera del triángulo resulte 20.

• Traza dos líneas para formar tres grupos de 3 números que sumen 9.
• No deben sobrar números.
• Quita dos palillos para obtener 4 cuadros. ¿Cómo lo harás?