En este caso “x³” es la tercera potencia de “x”, el numero x se llama base y al pequeño numero 3 se le llama exponente (este se escribe a la derecha y arriba de la base), el exponente es el numero de veces que se multiplica la base.
Ejemplos:
¾ • ¾ • ¾ = (¾)³ = 3³/4³
y • y = y² a la segunda potencia se le llama cuadrado así y² es el cuadrado de y
En los ejemplos podemos apreciar la diferencia que existe en los términos con diferente exponente haciendo notar que un término nunca será igual a otro con la misma parte literal y con diferente exponente, por lo tanto dos términos con diferente exponente no pueden sumarse.
¿Y para multiplicar potencias de la misma base?
Como una potencia denota una multiplicación sucesiva de la misma base la multiplicación de dos productos de igual base implica solamente la extensión de la multiplicación así:
Extendiéndolo a la regla: toda multiplicación de factores de la misma base es igual a la base elevado a la suma de los exponentes de los multiplicandos.
Ejemplos:
Todo término que encerado en un paréntesis que este elevado a un exponente se considera que todo el contenido es multiplicado por si mismo el numero de veces que diga el exponente así:
(8)² = (8)(8) = 64
(5x) = (5x)(5x) = 25×2
(2x³ – y)² = (2x³ – y)(2x³ – y) = 4×6 – 4x3y + y2
(¾)³ = (¾)(¾)(¾) = 3³ = 27
4³ 64
Se llama potencia a una expresión de la forma
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
Ejemplos:
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
Debido a esto, la notación {\displaystyle a^{b^{c}}}
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor, esto es:
Ejemplo:
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:
El caso particular de
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo
|
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:
En general para las fracciones se define que:
| =a^ |
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:
|
Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.
Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función exponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define
De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los números reales positivos R+, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.
Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción (véase productos notables), es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:
No cumple la propiedad conmutativa:
Tampoco cumple la propiedad asociativa:
Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.
Ejemplos:
La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n par tiene una simetría similar a la de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0) y la curva es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.
La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n impar es una curva con dos ramas unidas en el punto (0, 0), que posee simetría rotacional alrededor de este. El punto de inflexiónprecisamente se encuentra en el punto (0, 0), la curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.
Dichas curvas son continuas y derivables en todo su dominio de definición.
| Gráfico de una parábola{\displaystyle y=x^{2}\,} |
| Gráfico de {\displaystyle y=x^{3}\,} |
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