Multiplicación division algebraica
Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son:
- Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo. (+) (+) = + (-) (-) = + (+) (-) = – (-) (+) = –
- Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias. (xm) (xn) = xm + n
- Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto (x) (z) (y) = (y) (z) (x) = (z) (x) (y) = xyz Pero en el álgebra se obedece también la ley de los coeficientes.
- Ley de los coeficientes: el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores. (4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy
- Multiplicación de monomios: Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término.Reglas:
- Se multiplica él termino del multiplicando por él termino del multiplicador.
- Se suman los exponentes de las literales iguales.
- Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado.
- Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.
- Cuando existen multiplicación más de dos monomios resulta sencillo multiplicar uno a uno los factores para obtener el resultado.
Ejemplos:
- Multiplicación algebraica (monomios) En el último ejemplo se multiplican primero los dos primeros factores entre si, sin tocar el resto, luego se multiplica este resultado por el tercer factor, por último se multiplicó este segundo resultado por el cuarto factor obteniéndose el resultado final.Multiplicación de monomios con polinomios:
Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomioReglas:
- Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.
- Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente
- Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.
Ejemplos:
Multiplicación de polinomios. La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o cero.
Reglas:
- Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.
- Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente
- Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.
Ejemplos
Como puede verse en el segundo ejemplo una manera fácil y ordenada de realizar las multiplicaciones es planteándolo como diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y sumando términos semejantes. Producto continuado de polinomios. Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar.
Procedimiento
- Se efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera.
- Se multiplica el resultado de la operación anterior con el tercer factor y así se sigue sucesivamente.
Ejemplo:
z(5 – z)(z + 2)(z – 9) Lo desarrollaremos de dos maneras:Primera forma (factor por factor)
Segunda forma (multiplicaciones simultáneas)
Supresión de signos de agrupación con productos indicados
Cuando un signo de agrupación tenga coeficiente que no sea 1 (que se sobre entiende si no tiene coeficiente), hay que multiplicar todos los términos encerrados en ese signo de agrupación por ese coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y se suprime dicho signo de agrupación.Ejemplo:
-(x + y)[-3(a + 3b + 7)] = (- x – y)(- 3a – 9b – 21) Luego puede efectuarse la multiplicación indicadaDivision algebraica (monomios)
Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente: D = d · C Donde:
- D es el Dividendo (producto de los factores “d” y “C”)
- d es el divisor (factor conocido)
- C es el cociente (factor desconocido) Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.Leyes que sigue la división:
Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.
(+) ÷ (+) = + (-) ÷ (-) = + (+) ÷ (-) = – (-) ÷ (+) = – Ley de los cocientes de los coeficientes: el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy) Donde m y n son números y n es distinto de cero. Ley de exponentes: la división de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de las potencias.Ley de exponentes:
A la operaci�n matem�tica que representa, en forma abreviada, la multiplicaci�n de factores iguales se le llama potenciaci�n.
La potenciaci�n, como expresi�n algebraica, la conforman los siguientes elementos:
Con base en esta definici�n es posible entender las leyes de los exponentes.
Primera ley: Producto de potencias con la misma base.
Por la definici�n de potencia se tiene:
donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:
El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. 
Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base
Por la definici�n de potencia se tiene:
Al cancelar factores iguales queda:
El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes. 
Obs�rvese ahora el siguiente ejemplo:
Todo n�mero exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo 
Tercera ley: Potencia de una potencia
Por la definici�n de potencia se tiene:
La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes. 
Cuarta ley: Potencia de un producto
Al aplicar la definici�n de potencia:
Y como la potencia es una multiplicaci�n abreviada, queda:
La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores 
Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia
Aplicando la definici�n de potencia:
Abreviando la multiplicaci�n de fracciones:
Para elevar una fracci�n a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente. 
Los siguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la divisi�n de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:
Pero el cociente de la división (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces:
Por transitividad:
a² = 1
De donde se generaliza que:
Todo número diferente de cero con exponente 0 es igual a 1 Si se tiene la expresión:
Aplicando la definición de potencia:
Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene:
Por transitividad:
a² =a
Generalizando:
Todo número elevado a la primera potencia es igual que ese mismo número Mención especial merece el caso de la potenciación con exponente fraccionario.
Ejemplo:
Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que:
Por la definición:
- plicando la primera ley de los exponentes, se tiene:
Por la propiedad transitiva:
Si se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene:
Al eliminarse la raíz y la potencia (por ser operaciones inversas), se tiene que:
Generalizando:
En la resolución de expresiones algebraicas, la aplicación correcta de estas leyes serán de fundamental importancia para la obtención del resultado que se busca.
Nota: resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria así: Ley de exponentes:
-
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
- En palabras: 82 se puede leer «8 a la segunda potencia», «8 a la potencia 2» o simplemente «8 al cuadrado»
Leyes de los exponentes
Aquí están las leyes (las explicaciones están después):
| Ley | Ejemplo |
|---|---|
| x1 = x | 61 = 6 |
| x0 = 1 | 70 = 1 |
| x-1 = 1/x | 4-1 = 1/4 |
| xmxn = xm+n | x2x3 = x2+3 = x5 |
| xm/xn = xm-n | x4/x2 = x4-2 = x2 |
| (xm)n = xmn | (x2)3 = x2×3 = x6 |
| (xy)n = xnyn | (xy)3 = x3y3 |
| (x/y)n = xn/yn | (x/y)2 = x2 / y2 |
| x-n = 1/xn | x-3 = 1/x3 |
 |
 |
Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
| Ejemplo: potencias de 5 | |||
|---|---|---|---|
| … etc… |  |
||
| 52 | 1 × 5 × 5 | 25 | |
| 51 | 1 × 5 | 5 | |
| 50 | 1 | 1 | |
| 5-1 | 1 ÷ 5 | 0,2 | |
| 5-2 | 1 ÷ 5 ÷ 5 | 0,04 | |
| … etc… | |||
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas «x»? Respuesta: primero «m» veces, despuésotras «n» veces, en total «m+n» veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas «x»? Respuesta: «m» veces, después reduce eso«n» veces (porque estás dividiendo), en total «m-n» veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x «sobre la línea» y una «bajo la línea» puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x «m» veces. Después tienes que hacer eso «n» veces, en total m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las «x»s y las «y»s como en este ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las «x»s y las «y»s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo: 
- División de monomios
Es la división de un monomio entre otro, en fracción se trabaja como reducción de múltiplos iguales. Pasos a seguir:
- Se aplica ley de signos
- Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
- Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.
axn : bxm = (a : b)xn − m
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
- Se aplica ley de signos
- Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
- Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
- Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.Ejemplos:
Es muy sencillo.
Para dividir dos o más fracciones, se multiplican «en cruz». Esto es: el numerador (número de arriba) de la primera fracción por el denominador (número de abajo) de la segunda fracción, así conseguimos el numerador. Para obtener el denominador, tenemos que multiplicar el denominador (número de abajo) de la primera fracción por el numerador (número de arriba) de la segunda fracción.
Ejemplo:
División de Fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.
Ejemplo:
3 ÷ 4 = 3 · 3 = 9
5 3 5 4 20
Ejemplo:
3 ÷ 1 = 3 · 2 = 6
7 2 7 1 7
a + b = a + b Suma de Fracciones homogéneas
c c c
a + b = ad + bc Suma de Fracciones heterogéneas
c d cd
a – b = a – b Resta de Fracciones homogéneas
c c c
a – b = ad – bc Resta de Fracciones heterogéneas
c d cd
a · b = ab Multiplicación de Fracciones
c d cd
a ÷ b = a · d = ad División de Fracciones
c d c b cb
Objetivos:
- Comparar fracciones
- Hallar una fracción equivalente para otra dada,pero con denominador específico.
- Simplificar fracciones a su mínima expresión.
- Hallar el recíproco de un número
- Multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones.
Ejercicios:
A.Compara las siguientes fracciones con los signos de = (igual) , < (menor) o > (mayor).
1. 1 5 3. -4 2
2 6 9 7
2. 3 6 4. -2 -8
7 14 5 10
B. Busca una fracción equivalente.
5. 3 = ? 6. 4 = 16 7. ? = 6
5 20 6 ? 3 9
C. Simplifica las siguientes fracciones.
8. 30 9. 60 10. 6
45 48 9
D. Suma las siguientes fracciones y expresa la respuesta en forma simplificada:
11. 2 + 1 12. 3 + 1 13. 2 + 1
5 5 2 4 3 7
E. Resta de Fracciones
14. 1 – 1 15. 2 – 1 16. 8 – 2
2 8 3 3 9 5
F. Multiplicación de Fracciones
17. 2 x 6 18. 1 x 4 19. 2 x 8
5 10 3 9 16 9
G. División de Fracciones
20. 3 ÷ 1 21. 2 ÷ 3 22. 1 ÷ 1
5 10 7 4 4 2
G. Aplicación
23. El peso de un objeto sobre la Luna es de 1/6 su peso sobre la Tierra. ¿Cuánto pesaba allí el vehículo Lunar Rover , con un peso de 450 libras sobre la Tierra?
Soluciónes:
A. Compara las siguientes fracciones con los signos de = (igual) , < (menor) o > (mayor).
1. 1 5 3. -4 2
2 6 9 7
(1)(6) (5)(2) (-4)(7) (2)(9)
6 < 10 -28 < 18
Así que 1 < 5 Así que -4 < 6
2 6 9 7
2. 3 6 4. -2 -8
7 14 5 10
(3)(14) (6)(7) (-2)(10) (5)(-8)
42 = 42 -20 > -40
Así que 3 = 6 Así que -2 > -8
7 14 5 10
B. Busca una fracción equivalente.
5. 3 = ? 6. 4 = 16 7. ? = 6
5 20 6 ? 3 9
(3)(20) ?(5) (4)(?) (16)(6) (?)(9) (6)(3)
60 (12)(5) (4)(24) 96 (2)(9) 18
Así que Así que Así que
3 = 12 4 = 16 2 = 6
5 20 6 24 3 9
C. Simplifica las siguientes fracciones.
Recuerda que para simplificar fracciones primero haces la factorización prima del numerador y del denominador, buscas los factores iguales del numerador con el denominador ( en el #8 3 dividido por 3 es 1 y 5 dividido por 5 es uno) y entonces multiplicas los factores que queden.
1 1 1 1 1
8. 30 = 2·3·5 = 2 9. 60 = 2·2·3·5 =
45 5·3·3 3 48 2·2·2·2·3
1
10. 6 = 2·3_ = 2
9 3·3 3
1
D. Suma las siguientes fracciones y expresa la respuesta en forma simplificada:
11. 2 + 1 = 3 Cuando las fracciones son homogéneas
5 5 5 (denominadores iguales) se suman los
numeradores y se escribe el mismo
denominador.
12. 3 + 1 = (3)(4) + (2)(1) El algoritmo (regla) para la suma de
2 4 (2)(4) fracciones dice: Sean
a/b y c/d fracciones tales que b y d no
sean igual a cero.
= 12 + 2 a + c = a(d) + c(b)
8 b d b(d)
= 14
8 Simplificando la fracción
= 2·7
2 ·2·2
= 7 Solución
4
13. 2 + 1 = (2)(7) + (1)(3)
3 7 (3)(7)
= 14 + 3
21
= 17 Solución
21
E. Resta de Fracciones
14. 1 – 1 = 8 – 2 El algoritmo (regla) para la resta de fracciones
2 8 16 dice: Sean a/b y c/d fracciones tales que b
y d no sean igual a cero.
= 6 a – c = a(d) – c(b)
16 b d b(d)
= 2·3
2 ·2·2·2
= 3 Solución
8
15. 2 – 1 = 1 Solución
3 3 3
16. 8 – 2 = 40 – 18
9 5 45
= 22
45
= 2· 11 No se puede simplificar
3 ·3 ·5
= 22 Solución
45
F. Multiplicación de Fracciones
17. 2 x 6 = 2 · 2 ·3 = 6 Se hace la factorización prima y se
5 10 5 ·2 ·5 25 multiplica a la vez. Este
método permite ver si hay que simplificar.
18. 1 x 4 = 2 · 2 = 4 No hubo que simplificar.
3 9 3 · 3 · 3 27
19. 2 x 8 = 2 ·2 ·2 ·2 = 2
16 9 2 ·2 ·2·3·3 9
G. División de Fracciones
20. 3 ÷ 1 = 3 · 10 = 3 ·2 ·5 = 6 = 6
5 10 5 1 5 · 1 1
6/1 es los mismo que 6 dividido por 1 que es 6.
21. 2 ÷ 3 = 2 · 4 = 2 · 2 ·2 = 8 No hubo que
7 4 7 3 7 ·3 21 simplificar.
22. 1 ÷ 1 = 1 · 2 = 2 = 1
4 2 4 1 2·2 2
G. Aplicación
23. El peso de un objeto sobre la Luna es de 1/6 su peso sobre la Tierra. ¿Cuánto pesaba allí el vehículo Lunar Rover , con un peso de 450 libras sobre la Tierra?
Solución:
Cuando un problema requiere que calculemos una parte fraccionaria de una cantidad esto implica multiplicación.
450 x 1 = 450 x 1 = 45 x 10 = 3 x 3 x 2 x 5 = 15
6 1 6 2 x 3 2 x 3
Quiere decir que en la Luna el Lunar Rover pesa 15 libras
-
División de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.Pasos:
- Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
- Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.
- Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.
- Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
Para dividir dos monomios debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base. En general, am : an = am-n
Por ejemplo, si quieres dividir los monomios 24x4y2z3 y 8xy, no tienes más que dividir por un lado los coeficientes, y por el otro las letras:
Otros ejemplos de divisiones de monomios son:
| −15x3y4z2 : 5x2y2z = −3xy2z | El cociente de los dos monomios da como resultado otro monomio. |
| 21x2y5 : 3x3y = 7x−1y4 | El cociente de estos monomios no es otro monomio, ya que tiene un exponente negativo. |
|
El cociente de dos monomios (cuando es posible) es igual a otro monomio que tiene:
En general, la división de un polinomio entre un monomio no es posible. Solo podrá realizarse cuando todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio.
Por ejemplo:
-
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.
- Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.
- El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.
- Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
- El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
- Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
- Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.Ejemplos:
Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.
-
División sintética La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división. Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo: Comenzamos dividiéndolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restadosDivisión sintética pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos División sintética. al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:
Comenzamos dividiéndolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados
pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos 
. al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:
Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:
Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.
Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:
- Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
- Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón
- Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.
- Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).
- Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.
- Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.
Ejemplos:
Donde -108 es el residuo
