FISICA

Movimientos rectilíneo uniforme

Movimientos rectilíneo uniforme. El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es un tipo de movimiento en el que un objeto se desplaza en línea recta con una velocidad constante, es decir, sin aceleración. Esto significa que el objeto recorre distancias iguales en intervalos de tiempo iguales.

Características del Movimiento Rectilíneo Uniforme:

Trayectoria recta: El objeto se mueve en una línea recta.
Velocidad constante: La velocidad del objeto no cambia a lo largo del movimiento.
Sin aceleración: La velocidad no aumenta ni disminuye, por lo que no hay aceleración.

Ejemplos de Movimiento Rectilíneo Uniforme:

Un automóvil que se mueve por una autopista a una velocidad constante.
La luz viajando en línea recta desde el Sol hasta la Tierra (en términos generales, la luz también se considera que sigue un MRU, aunque en realidad es un poco más complejo debido a la relatividad).

Fórmula del Movimiento Rectilíneo Uniforme:

La distancia recorrida (d) se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

d = v * t

Donde: d es la distancia recorrida, v es la velocidad constante, t es el tiempo.

En resumen: El MRU es un movimiento simple donde la trayectoria es una línea recta y la velocidad es constante. Es un concepto fundamental en la cinemática y se utiliza para modelar el movimiento de objetos en diversas situaciones, como el movimiento de un automóvil en una autopista o el movimiento de un cuerpo en el vacío.

Ecuación del movimiento

En física, la ecuación de movimiento es una formulación matemática que describe cómo cambia el estado de un sistema físico en el tiempo. Relaciona la derivada temporal de variables que caracterizan el sistema (como posición, velocidad o aceleración) con otras magnitudes físicas que causan ese cambio. En esencia, define la evolución del sistema en el espacio y el tiempo.

Elementos clave de una ecuación de movimiento:

Sistema físico: El objeto o conjunto de objetos que se está analizando.
Variables que caracterizan el estado: Magnitudes físicas que describen la posición, velocidad, aceleración, etc. del sistema.
Derivadas temporales: La tasa de cambio de las variables con respecto al tiempo.
Magnitudes que causan el cambio: Fuerzas, aceleraciones, o cualquier otro factor que influye en la evolución del sistema.

Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:

e = e₀ + v₀ ⋅ t + —– ⋅ a ⋅ t²

Vf = v₀ + a ⋅ t

Variable	Significado
ee	es el desplazamiento del móvil
e_o	es la posición inicial
t	es el intervalo de tiempo que estamos considerando
v_o	es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)
v_f	es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo)
a	es la aceleración

Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:

Si el móvil parte del origen de coordenadas

Significa que la posición inicial e_o del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:

e = v₀ ⋅ t + —- ⋅ a ⋅ t²

Si el móvil parte del reposo

Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:

e = —- ⋅ a ⋅ t²

vf = a ⋅ t

Si el movimiento es uniforme

Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero.

Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:

e = v₀ ⋅ t

vf = v₀

Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto, no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente.

Ejemplos de ecuaciones de movimiento:

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU):

La posición (s) se describe como s = s₀ + v * t, donde s₀ es la posición inicial, v es la velocidad constante y t es el tiempo.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA):

Las ecuaciones de movimiento incluyen:

Velocidad final (v) = velocidad inicial (v₀) + aceleración (a) * tiempo (t).
Desplazamiento (s) = velocidad inicial (v₀) * tiempo (t) + 1/2 * aceleración (a) * tiempo (t)², según Studysmarter ES.
Velocidad final² (v²) = velocidad inicial² (v₀²) + 2 * aceleración (a) * desplazamiento (s).
Movimiento armónico simple (MAS):

La posición (x) se describe como x = A * cos (ωt + φ0), donde A es la amplitud, ω es la frecuencia angular y φ0 es la fase inicial.

En resumen: Las ecuaciones de movimiento son herramientas fundamentales en la física para predecir y entender cómo se mueven los objetos y sistemas físicos en el tiempo.

Cómo resolver los ejercicios

Para resolver un ejercicio no basta con aplicar las ecuaciones. Es necesario seguir un método o estrategia que podemos resumir así:

Dibuja un diagrama con la situación propuesta.
Identifica las variables que conocemos y ponlas en una lista de datos.
Identifica las variables desconocidas y ponlas en la lista de incógnitas.
Identifica la ecuación con la que vas a obtener el resultado y comprueba si tienes todos los datos necesarios o debes calcular alguno con la otra ecuación.
Sustituye los valores en las ecuaciones y realiza los pasos y las operaciones que necesites para obtener el resultado.
Comprueba que tu resultado sea correcto matemáticamente y que sea razonable desde el punto de vista físico.

Ejemplo:

Imagina que el conductor de una moto que circula 25 m/s pisa el freno hasta detenerse cuando ve que el semáforo se pone en ámbar. Si los frenos producen una aceleración de -5 m/s², ¿cuál será el desplazamiento durante el proceso de frenado?

Resolución:

Comenzamos haciendo un esquema informativo de la situación física, que aparece un poco más abajo.

El segundo paso consiste en identificar los datos que nos proporcionan.

Observa que la velocidad final v_f es cero porque nos dicen que la moto se detiene.
La velocidad inicial v_o de la moto es +25 m/s porque esa es la velocidad al inicio del movimiento que estamos estudiando (el movimiento de frenado).
La aceleración a es -5 m/s².
Presta mucha atención a los signos + y – que tienen las magnitudes.

El siguiente paso es saber qué queremos calcular. En nuestro caso, tenemos que determinar el desplazamiento e de la moto mientras frena.

A continuación, tienes el resultado de los tres primeros pasos:

Esquema: a = -5 m/s2
————-
v° = +25 m/s ———– vf = 0 m/s

<——- ¿ e ——->

Datos: v_o = +25 m/s v_f = 0 m/s a = -5 m/s²

Buscamos: e = ?

El cuarto paso consiste en decidir con qué ecuación podemos calcular lo que nos piden y comprobar si tenemos todos los datos que necesitamos. En nuestro caso usaremos la ecuación:

e = v_o· t + ½ · a · t²

Observa que no podemos calcular e hasta que conozcamos el tiempo t que dura la frenada. Lo podemos calcular con la otra ecuación:

v_f = v_o + a · t

Si sustituimos los valores conocidos de v_f, v_o y a, tenemos:

0 = 25 m/s + (-5) m/s²·t

-25 m/s = -5 m/s²·t

t = -25 m/s / -5 m/s² = 5 s

Una vez calculado el tiempo que dura el movimiento, procedemos a determinar el desplazamiento:

e = 25 m/s · 5s + ½ (-5) m/s²·(5s) ²

e = 125 m – 62,5 m = 62,5 m

e = 62,5 m

Hemos llegado a la conclusión de que la moto recorre 62,5 m durante el proceso de frenada.

El último paso consiste en comprobar que la solución que damos es correcta y razonable. La solución, en este caso, representa el desplazamiento que realiza la moto desde que se pisa el freno hasta que se detiene. Parece razonable que si se circula a 90 km/h (25 m/s), la distancia necesaria para detener la moto sea aproximadamente las dos terceras partes de un campo de fútbol, similar a la que nosotros hemos obtenido.

Para comprobar si los cálculos matemáticos son correctos, sustituye los valores de t y de e que hemos calculado en ambas ecuaciones del movimiento y comprueba que la parte izquierda de cada ecuación sea igual que la derecha.

Movimiento rectilíneo

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t’ el móvil se encontrará en la posición x’. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x’-x en el intervalo de tiempo Dt=t’-t, medido desde el instante t al instante t’.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t’ está definida por

x’ – x /

< v > =

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t²+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)	x’ (m)	Δx=x’-x	Δt=t’-t	m/s
3	46	25	1	25
2.1	23.05	2.05	0.1	20.5
2.01	21.2005	0.2005	0.01	20.05
2.001	21.020005	0.020005	0.001	20.005
2.0001	21.00200005	0.00200005	0.0001	20.0005
…	…	…	…	…
			0	20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t = 2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

La posición del móvil en el instante t es x=5t²+1
La posición del móvil en el instante t + Dt es x‘= 5 (t + Dt)²+ 1 = 5t²+ 10tDt +5 Dt²+ 1
El desplazamiento es Dx = x’- x = 10t Dt + 5 Dt²
La velocidad media <v> es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t = 2 s, v = 20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t’ la velocidad del móvil es v’. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t’ al cociente entre el cambio de velocidad Dv = v’ – v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt = t’- t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x = 2t³– 4t²+ 5 m. Hallar la expresión de

La velocidad
La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t₀ y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta. Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x₀ al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v = t³– 4t²+ 5 m/s.

Si en el instante t₀= 2 s. está situado en x₀= 4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad v-v₀ es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad v-v₀, y el valor inicial v₀ en el instante t₀, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t² m/s². Sabiendo que en el instante t₀=3 s, la velocidad del móvil vale v₀=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

	Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v₀ entre los instantes t₀ y t, mediante integración, o gráficamente.
	Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x₀

Interpretación geométrica de la derivada

Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la representación de la función elegida

Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t₀.

Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado Aumento

Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica
Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t₀ elegido
Se comprueba sí coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en t₀.

Ejemplo:

Elegimos la primera función y el punto t₀=3.009

Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha función es

para t₀=3.0 la derivada tiene vale -1.0

Integral definida

Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente

	Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m
	Si v=6·t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m
	Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos: el de la izquierda tiene un área de (7.5·60) /2=225 el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25. El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25) =200 m

En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

En el instante t_i-1 la velocidad del móvil es v_i-1, en el instante t_i la velocidad del móvil es v_i. La velocidad media <v_i> en el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-₁ comprendido entre t_i-1 y t_i es

El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-₁ comprendido entre t_i-1 y t_i es aproximadamente el área del rectángulo <v_i>·Δt_i. El desplazamiento total x-x₀ entre el instante inicial t₀, y el instante final t=t_n es, aproximadamente

donde n es el número de intervalos

Si v=-t²+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t₀=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale

x-x₀≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m

Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t₀, t) es muy grande Δt_i→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como

Si v=-t²+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t₀=0 y t=10 s vale