Movimientos rectilíneo uniforme. El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es un tipo de movimiento en el que un objeto se desplaza en línea recta con una velocidad constante, es decir, sin aceleración. Esto significa que el objeto recorre distancias iguales en intervalos de tiempo iguales.
Características del Movimiento Rectilíneo Uniforme:
- Trayectoria recta: El objeto se mueve en una línea recta.
- Velocidad constante: La velocidad del objeto no cambia a lo largo del movimiento.
- Sin aceleración: La velocidad no aumenta ni disminuye, por lo que no hay aceleración.
Ejemplos de Movimiento Rectilíneo Uniforme:
- Un automóvil que se mueve por una autopista a una velocidad constante.
- La luz viajando en línea recta desde el Sol hasta la Tierra (en términos generales, la luz también se considera que sigue un MRU, aunque en realidad es un poco más complejo debido a la relatividad).
Fórmula del Movimiento Rectilíneo Uniforme:
La distancia recorrida (d) se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:
d = v * t
Donde: d es la distancia recorrida, v es la velocidad constante, t es el tiempo.
En resumen: El MRU es un movimiento simple donde la trayectoria es una línea recta y la velocidad es constante. Es un concepto fundamental en la cinemática y se utiliza para modelar el movimiento de objetos en diversas situaciones, como el movimiento de un automóvil en una autopista o el movimiento de un cuerpo en el vacío.
Ecuación del movimiento
En física, la ecuación de movimiento es una formulación matemática que describe cómo cambia el estado de un sistema físico en el tiempo. Relaciona la derivada temporal de variables que caracterizan el sistema (como posición, velocidad o aceleración) con otras magnitudes físicas que causan ese cambio. En esencia, define la evolución del sistema en el espacio y el tiempo.
Elementos clave de una ecuación de movimiento:
- Sistema físico: El objeto o conjunto de objetos que se está analizando.
- Variables que caracterizan el estado: Magnitudes físicas que describen la posición, velocidad, aceleración, etc. del sistema.
- Derivadas temporales: La tasa de cambio de las variables con respecto al tiempo.
- Magnitudes que causan el cambio: Fuerzas, aceleraciones, o cualquier otro factor que influye en la evolución del sistema.
Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:
1
e = e0 + v0 ⋅ t + —– ⋅ a ⋅ t2
2
Vf = v0 + a ⋅ t
| Variable | Significado |
| ee | es el desplazamiento del móvil |
| eo | es la posición inicial |
| t | es el intervalo de tiempo que estamos considerando |
| vo | es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo) |
| vf | es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo) |
| a | es la aceleración |
Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:
Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:
Si el móvil parte del origen de coordenadas
Significa que la posición inicial eo del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:
1
e = v0 ⋅ t + —- ⋅ a ⋅ t2
2
Si el móvil parte del reposo
Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:
1
e = —- ⋅ a ⋅ t2
2
vf = a ⋅ t
Si el movimiento es uniforme
Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero.
Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:
e = v0 ⋅ t
vf = v0
Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto, no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente.
Ejemplos de ecuaciones de movimiento:
- Movimiento rectilíneo uniforme (MRU):
La posición (s) se describe como s = s0 + v * t, donde s0 es la posición inicial, v es la velocidad constante y t es el tiempo.
- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA):
Las ecuaciones de movimiento incluyen:
- Velocidad final (v) = velocidad inicial (v0) + aceleración (a) * tiempo (t).
- Desplazamiento (s) = velocidad inicial (v0) * tiempo (t) + 1/2 * aceleración (a) * tiempo (t)², según Studysmarter ES.
- Velocidad final² (v²) = velocidad inicial² (v0²) + 2 * aceleración (a) * desplazamiento (s).
- Movimiento armónico simple (MAS):
La posición (x) se describe como x = A * cos (ωt + φ0), donde A es la amplitud, ω es la frecuencia angular y φ0 es la fase inicial.
En resumen: Las ecuaciones de movimiento son herramientas fundamentales en la física para predecir y entender cómo se mueven los objetos y sistemas físicos en el tiempo.
Cómo resolver los ejercicios
Para resolver un ejercicio no basta con aplicar las ecuaciones. Es necesario seguir un método o estrategia que podemos resumir así:
- Dibuja un diagrama con la situación propuesta.
- Identifica las variables que conocemos y ponlas en una lista de datos.
- Identifica las variables desconocidas y ponlas en la lista de incógnitas.
- Identifica la ecuación con la que vas a obtener el resultado y comprueba si tienes todos los datos necesarios o debes calcular alguno con la otra ecuación.
- Sustituye los valores en las ecuaciones y realiza los pasos y las operaciones que necesites para obtener el resultado.
- Comprueba que tu resultado sea correcto matemáticamente y que sea razonable desde el punto de vista físico.
Ejemplo:
Imagina que el conductor de una moto que circula 25 m/s pisa el freno hasta detenerse cuando ve que el semáforo se pone en ámbar. Si los frenos producen una aceleración de -5 m/s², ¿cuál será el desplazamiento durante el proceso de frenado?
Imagina que el conductor de una moto que circula 25 m/s pisa el freno hasta detenerse cuando ve que el semáforo se pone en ámbar. Si los frenos producen una aceleración de -5 m/s², ¿cuál será el desplazamiento durante el proceso de frenado?
Resolución:
Comenzamos haciendo un esquema informativo de la situación física, que aparece un poco más abajo.
El segundo paso consiste en identificar los datos que nos proporcionan.
- Observa que la velocidad final vf es cero porque nos dicen que la moto se detiene.
- La velocidad inicial vo de la moto es +25 m/s porque esa es la velocidad al inicio del movimiento que estamos estudiando (el movimiento de frenado).
- La aceleración a es -5 m/s².
- Presta mucha atención a los signos + y – que tienen las magnitudes.
El siguiente paso es saber qué queremos calcular. En nuestro caso, tenemos que determinar el desplazamiento e de la moto mientras frena.
A continuación, tienes el resultado de los tres primeros pasos:
| Esquema: a = -5 m/s2 ————- v° = +25 m/s ———– vf = 0 m/s <——- ¿ e ——-> | Datos: vo = +25 m/s vf = 0 m/s a = -5 m/s² | Buscamos: e = ? |
El cuarto paso consiste en decidir con qué ecuación podemos calcular lo que nos piden y comprobar si tenemos todos los datos que necesitamos. En nuestro caso usaremos la ecuación:
| e = vo · t + ½ · a · t² |
Observa que no podemos calcular e hasta que conozcamos el tiempo t que dura la frenada. Lo podemos calcular con la otra ecuación:
| vf = vo + a · t |
Si sustituimos los valores conocidos de vf, vo y a, tenemos:
0 = 25 m/s + (-5) m/s²·t
-25 m/s = -5 m/s²·t
t = -25 m/s / -5 m/s² = 5 s
Una vez calculado el tiempo que dura el movimiento, procedemos a determinar el desplazamiento:
e = 25 m/s · 5s + ½ (-5) m/s²·(5s) ²
e = 125 m – 62,5 m = 62,5 m
e = 62,5 m
Hemos llegado a la conclusión de que la moto recorre 62,5 m durante el proceso de frenada.
El último paso consiste en comprobar que la solución que damos es correcta y razonable. La solución, en este caso, representa el desplazamiento que realiza la moto desde que se pisa el freno hasta que se detiene. Parece razonable que si se circula a 90 km/h (25 m/s), la distancia necesaria para detener la moto sea aproximadamente las dos terceras partes de un campo de fútbol, similar a la que nosotros hemos obtenido.
Para comprobar si los cálculos matemáticos son correctos, sustituye los valores de t y de e que hemos calculado en ambas ecuaciones del movimiento y comprueba que la parte izquierda de cada ecuación sea igual que la derecha.
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t’ el móvil se encontrará en la posición x’. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x’-x en el intervalo de tiempo Dt=t’-t, medido desde el instante t al instante t’.
La velocidad media entre los instantes t y t’ está definida por
x’ – x /
< v > =
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
- 2 y 3 s.
- 2 y 2.1 s.
- 2 y 2.01 s.
- 2 y 2.001 s.
- 2 y 2.0001 s.
- Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
| En el instante t=2 s, x=21 m | ||||
| t’ (s) | x’ (m) | Δx=x’-x | Δt=t’-t | m/s |
| 3 | 46 | 25 | 1 | 25 |
| 2.1 | 23.05 | 2.05 | 0.1 | 20.5 |
| 2.01 | 21.2005 | 0.2005 | 0.01 | 20.05 |
| 2.001 | 21.020005 | 0.020005 | 0.001 | 20.005 |
| 2.0001 | 21.00200005 | 0.00200005 | 0.0001 | 20.0005 |
| … | … | … | … | … |
| 0 | 20 | |||
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t = 2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
- La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
- La posición del móvil en el instante t + Dt es x‘= 5 (t + Dt)2 + 1 = 5t2 + 10tDt +5 Dt2 + 1
- El desplazamiento es Dx = x’- x = 10t Dt + 5 Dt2
- La velocidad media <v> es
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t = 2 s, v = 20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t’ la velocidad del móvil es v’. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t’ al cociente entre el cambio de velocidad Dv = v’ – v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt = t’- t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x = 2t3 – 4t2 + 5 m. Hallar la expresión de
- La velocidad
- La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
| En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta. Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior. |
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v = t3 – 4t2 + 5 m/s.
Si en el instante t0 = 2 s. está situado en x0 = 4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.
| En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t. |
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son
Movimiento rectilíneo uniforme
| Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando o gráficamente, en la representación de v en función de t. |
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
| Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente. | |
| Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando |
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0
Interpretación geométrica de la derivada
Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa la representación de la función elegida
Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t0.
Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado Aumento
- Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica
- Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t0 elegido
- Se comprueba sí coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en t0.
Ejemplo:
Elegimos la primera función y el punto t0=3.009
Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.
La derivada de dicha función es
para t0=3.0 la derivada tiene vale -1.0
Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente
| Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m | |
| Si v=6·t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m | |
| Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos: el de la izquierda tiene un área de (7.5·60) /2=225 el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25. El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25) =200 m |
En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura
En el instante ti-1 la velocidad del móvil es vi-1, en el instante ti la velocidad del móvil es vi. La velocidad media <vi> en el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es
El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es aproximadamente el área del rectángulo <vi>·Δti. El desplazamiento total x-x0 entre el instante inicial t0, y el instante final t=tn es, aproximadamente
donde n es el número de intervalos
Si v=-t2+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t0=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale
x-x0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m
Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t0, t) es muy grande Δti→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como
Si v=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t0=0 y t=10 s vale
