Hodógrafa. Lugar geométrico de los extremos de los vectores repre de la velocidad de un punto que recorre una trayectoria cualquiera, trasladados a un origen común.
Una hodógrafa es el lugar geométrico del plano o del espacio determinado por los extremos de los vectores (e.g. velocidad) de un punto que recorre una trayectoria cualquiera, trasladados a un origen común.
Para dibujar la hodógrafa de un movimiento se toma en un punto arbitrario A, que puede coincidir con el origen de coordenadas, un vector equipolente (vector que tiene el mismo módulo, dirección y línea de acción paralela, pero distinto punto de aplicación) a la velocidad del móvil. Se repite esta misma operación para el vector velocidad en las sucesivas posiciones que va ocupando el móvil en su trayectoria. El lugar geométrico de los extremos de los vectores equipolentes es la hodógrafa del movimiento. Mientras el móvil P recorre su trayectoria, el extremo H del vector equipolente a su velocidad instantánea recorre la hodógrafa.
Comparando la hodógrafa (figura a la derecha) con la trayectoria (figura a la izquierda) es fácil comprender que la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, esto es, la aceleración, será un vector tangente a la hodógrafa y que la celeridad del punto figurativo H sobre la hodógrafa será igual al módulo de la aceleración.
Si la velocidad es constante en módulo y dirección, la hodógrafa queda reducida a un punto; si sólo es constante en módulo, la hodógrafa es una curva situada sobre una superficie esférica de radio igual al módulo de la velocidad.
SISTEMA DE REFERENCIA Y CUERPO PUNTUAL.
La dinámica es el capítulo de la física en el que se desarrolla el formalismo necesario para describir
las características del movimiento de un cuerpo, respecto de otro cuerpo elegido como referencia.
En lo que continúa, idealizamos o representaremos al cuerpo de referencia mediante una terna de ejes ortogonales rígidamente vinculada al mismo como se sugiere en la figura siguiente, que identificamos como terna de referencia o más generalmente como Sistema de Referencia, cuyos ejes indicaremos con (xyz) respectivamente.
Teniendo en cuenta lo mencionado anteriormente, es claro que el concepto de movimiento resulta ser esencialmente relativo y las características del mismo dependen del sistema de referencia respecto del que se lo describe, como puede notarse en el caso que se plantea a continuación.
Considerando un punto perteneciente a la periferia de la rueda de un automóvil que marcha con velocidad constante, las características de su movimiento serán diferentes si lo describimos respecto del automóvil, o
sea, respecto de un sistema de referencia fijo al automóvil, que si lo hacemos respecto de un sistema de referencia fijo a tierra. En el primer caso veríamos que dicho punto se mueve a lo largo de un círculo
coincidente con el contorno de la rueda como se sugiere en la figura (a), en cambio en el segundo caso, respecto de un sistema de referencia fijo a tierra, y suponiendo que la rueda no desliza, lo veríamos moverse
a lo largo de una curva como la mostrada con línea discontinua en la figura (b), conocida como cicloide.
Cuerpo Puntual.
Puesto que en general estaremos interesados en describir el movimiento de un cuerpo con dimensiones finitas, el formalismo que se desarrolle deberá ser capaz de permitirnos describir el movimiento de todos y cada uno de los puntos que forman el cuerpo, para lo cual será necesario que previamente desarrollemos el formalismo necesario para describir las características del movimiento de un punto perteneciente al cuerpo o a una extensión rígida e imaginaria del mismo, que identificamos como su Centro de Masa y que como veremos tiene propiedades de particular interés.
Asimismo, este formalismo nos permitirá atender situaciones en donde las dimensiones del cuerpo son menores que el error con que determinamos la distancia de un punto cualquiera del mismo al origen de nuestro sistema de referencia. En este caso carece de sentido pretender diferenciar los puntos que integran el cuerpo y con ello las características de sus movimientos, con lo que podremos tratar a este cuerpo como si fuera simplemente un punto material, que en adelante identificamos como Cuerpo Puntual.
Con referencia a lo mencionado en este último párrafo cabe destacar que, al igual que el concepto de movimiento, el que un cuerpo pueda o no ser considerado puntual, es también relativo, ya que en general la opción de una de estas alternativas dependerá de las dimensiones involucradas en el problema y de la precisión con que las estimamos.
Por los motivos expuestos, es clara la importancia de desarrollar un formalismo que permita describir las características del movimiento de un punto de un cuerpo o de un cuerpo puntual, que en adelante para
simplificar el lenguaje identificamos indistintamente como Partícula.
Posteriormente, se desarrollará el formalismo que nos permitirá describir el comportamiento de un sistema discreto de partículas y luego el correspondiente a un sistema rígido, discreto o continuo.
VECTORES POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN.
Entendiendo que una partícula está en movimiento respecto de un sistema de referencia (xyz) cuando, desde dicho sistema se observan cambios en su posición, es entonces necesario disponer de una magnitud que nos permita caracterizar en cada instante la posición de la partícula respecto del mencionado sistema de
referencia.
Con el propósito indicado, definiremos al vector posición de una partícula respecto del origen del sistema de
referencia en consideración, como un vector con extremos en la partícula y en el origen de dicho sistema,
como se muestra en la figura siguiente, donde podemos observar que al cambiar la posición de la partícula,
el extremo libre de dicho vector define un lugar geométrico como el sugerido con línea de discontinua, que
en adelante reconoceremos como la trayectoria a lo largo de la que se mueve la partícula respecto del
sistema de referencia involucrado.
r r(t) =
Teniendo en cuenta lo mencionado resulta que, las características de la trayectoria a lo largo de la que se
desplazará una partícula, dependerán del sistema de referencia respecto del que se describe el movimiento.
Así, para la situación a la que se hace referencia en la segunda figura de la página anterior, es claro que
respecto del sistema de referencia fijo al auto la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular en
cambio la trayectoria recorrida por la partícula respecto del sistema de referencia fijo a tierra es muy
diferente y corresponde a la curva (b) mostrada en dicha figura, que como ya lo mencionáramos, de no
existir deslizamiento recibe el nombre de cicloide, siendo este el caso representado en la misma.
Vector Velocidad.
Con el propósito de disponer de una magnitud que nos permita, caracterizar los cambios temporales
observados desde el sistema de referencia involucrado en el vector posición de una partícula, definiremos
su vector velocidad, respecto de dicho sistema, como:
xyz
xyz dt
dr
v
= 1.1
Donde con el subíndice (xyz) deseamos resaltar que la derivada temporal está calculada desde el
mencionado sistema de referencia, o sea que, la derivada anterior tiene en cuenta las variaciones temporales
observadas en el vector posición desde el sistema de referencia indicado con el subíndice, por lo que a
dicha magnitud podremos expresarla como:
t 0 xyz
xyz t
r
v lim Δ
Δ =
Δ →
1.2
Donde nuevamente con el subíndice (xyz) identificamos al sistema de referencia desde donde se deberán
evaluar las variaciones temporales del vector posición de la partícula.
La figura siguiente muestra cualitativamente las variaciones temporales que se observan en el vector
posición de una partícula durante diferentes intervalos de tiempos, en donde podemos observar que cuando
dicho intervalo tiende a cero, el vector desplazamiento Δr tiende a ser un v
