Fuerza centrípeta

May 28, 2017
Fuerza centrípeta. Una fuerza centrípeta es una fuerza neta que actúa sobre un objeto para mantenerlo en movimiento a lo largo de una trayectoria circular.

Fuerza centrípeta en un movimiento circular.

Se llama «fuerza centrípeta» a la fuerza o a la componente de la fuerza que actúa sobre un objeto en movimiento sobre una trayectoria curvilínea y que está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

El término «centrípeta» proviene de las palabras latinas centrum, «centro» y petere, «dirigirse hacia», y puede ser obtenida a partir de las leyes de Newton. En el caso de un objeto que se mueve en trayectoria circular con velocidad cambiante, la fuerza neta sobre el cuerpo puede ser descompuesta en un componente perpendicular que cambia la dirección del movimiento y uno tangencial, paralelo a la velocidad, que modifica el módulo de la velocidad.

La fuerza centrípeta no debe ser confundida con la fuerza centrífuga, tal como se explica en la sección Malentendidos comunes.

Fuerza centrípeta en mecánica newtoniana

Los objetos con movimiento rectilíneo uniforme tienen una velocidad constante; pero un objeto que se mueva sobre una trayectoria circular con rapidez constante experimenta continuamente un cambio en la dirección de su movimiento, esto es, en la dirección de la velocidad. Puesto que la velocidad cambia, existe una aceleración. La magnitud de este cambio de dirección de la velocidad por unidad de tiempo es la aceleración centrípeta, representada por un vector dirigido hacia el centro de la circunferencia dado por

  {\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {v^{2}}{r}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)=-{\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {u} }}_{r}=-\omega ^{2}\mathbf {r} }

Donde:

{\displaystyle \mathbf {a} \,} es la aceleración centrípeta.
v \, es el módulo de la velocidad.
{\displaystyle r\,} es el radio de la trayectoria circular (en general, el radio de curvatura).
{\displaystyle \mathbf {r} \,} el vector de posición.
{\displaystyle \mathbf {u} _{r}\,} el versor radial.
 {\displaystyle \omega \,} la velocidad angular.

Según la segunda ley de Newton, para que se produzca una aceleración debe actuar una fuerza en la dirección de esa aceleración. Así, si consideramos una partícula de masa  m\, en movimiento circular uniforme, estará sometida a una fuerza centrípeta dada por:

{\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {mv^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {u} }}_{r}=-m\omega ^{2}\mathbf {r} }

Ejemplo

Supongamos que atamos una pelota con una cuerda y la hacemos girar en círculo a velocidad angular constante. La pelota se mueve en una trayectoria circular porque la cuerda ejerce sobre ella una fuerza centrípeta.

Otro ejemplo se puede ver en Modelo de Tiovivo, donde un programa realizado en Lenguaje Java permite parametrizar algunas de las variables que intervienen utilizando un carrusel.

Malentendidos comunes

En algunos textos docentes introductorios es frecuente encontrar cierta confusión entre los términos «fuerza centrípeta» y «fuerza centrífuga». La fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que «aparece» para un observador que usa un marco de referencia en rotación para describir el movimiento. En cambio, un observador en un marco de referencia inercial no percibe ninguna fuerza centrífuga, mientras que sí ve una fuerza real llamada fuerza centrípeta que es la que obliga a un móvil a curvar su trayectoria en la dirección de dicha fuerza. El problema reside en que en un sistema de referencia en rotación la fuerza centrífuga (ficticia) intuida por un observador en reposo en dicho referencial coincide en magnitud –pero en sentido contrario– con la fuerza centrípeta (real) necesaria para mantener un cuerpo en reposo en tal sistema de referencia en rotación.

Tampoco la fuerza centrípeta debe confundirse con la denominada fuerza central. La fuerza central es una fuerza real que actúa sobre un cuerpo y que cumple con dos condiciones:

  1. su magnitud depende sólo de la distancia del cuerpo a un punto que se denomina centro de fuerzas y
  2. su línea de acción pasa por el citado centro de fuerzas.

Ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza gravitatoria y la fuerza electrostática. Frecuentemente, la fuerza centrípeta es una fuerza central. Una excepción ocurre cuando el centro de masas no coincide con el centro geométrico del objeto sobre el cual actúan las fuerzas, con lo que hay que poner especial énfasis sobre la dirección de la fuerza centrípeta y los puntos donde actúa. Un ejemplo claro de éste fenómeno ocurre con la dinámica de un cilindro inhomogéneo que rueda sobre un plano inclinado hasta despegarse del mismo.1

Deducción de la aceleración centrípeta

Demostración geométrica

Figura 1: Los vectores de posición y velocidad se mueven de forma circular.

Puesto que la velocidad es siempre tangente a la trayectoria, el vector  {\mathbf {v}} siempre es perpendicular al vector de posición. Como el extremo del vector  \mathbf{R} se mueve describiendo una circunferencia de radio } R\,, el extremo del vector {\mathbf {v}} lo hace de modo análogo. La circunferencia a la derecha muestra la forma en que cambia la velocidad con el tiempo. Dicha circunferencia representa la hodógrafa del movimiento.

El cambio de la velocidad en el tiempo es la aceleración, y dado que la velocidad cambia de manera similar a como lo hace el vector de posición, la aceleración en cada instante también es perpendicular a la velocidad en ese instante, por lo que podemos dibujarlas como vectores  {\mathbf {a}} tangentes a la circunferencia.

Ya que los vectores de posición y velocidad giran conjuntamente, el período T (tiempo empleado en una vuelta completa) será el mismo en ambos casos.

Para el periodo de la partícula en la trayectoria circular tenemos

  {\displaystyle T={\frac {2\pi R}{v}}}

y, por analogía, con la hodógrafa de la derecha tenemos

  {\displaystyle T={\frac {2\pi v}{a}}}

Igualando ambas ecuaciones, y despejando  a obtenemos.

  {\displaystyle a={\frac {v^{2}}{R}}}

Comparando la trayectoria (izquierda) con su hodógrafa (derecha), se deduce que la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia, en forma opuesta al vector  {\displaystyle \mathbf {R} \,}. Esto lo podemos hacer regresando cada uno de los vectores  {\mathbf v} a su posición original en el círculo de la izquierda. Si junto con ellos nos llevamos los vectores {\mathbf a}, se podrá notar el hecho de que estos últimos efectivamente apuntan hacia el centro.

Deducción usando el cálculo

Circular motion.svg

Otro método para deducir la ecuación de la aceleración centrípeta consiste en expresar la ecuación de la trayectoria circular en ecuaciones paramétricas:

  {\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{cases}x=R\cos \theta =R\cos \omega t\\y=R\sin \theta =R\sin \omega t\\\end{cases}}}

donde

  \omega\, es la velocidad angular
t\, es el tiempo

y derivar dos veces sucesivas con respecto del tiempo

  {\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{cases}{\dot {x}}=-\omega R\sin \omega t\\{\dot {y}}=\omega R\cos \omega t\\\end{cases}}}

  {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{cases}{\ddot {x}}=-\omega ^{2}R\cos \omega t\\{\ddot {y}}=-\omega ^{2}R\sin \omega t\\\end{cases}}}

de modo que

{\displaystyle \mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} }

que pone de manifiesto que la aceleración está dirigida hacia el centro de la trayectoría circular y que su módulo viene dado por:

  {\displaystyle a=-\omega ^{2}R={\frac {v^{2}}{R}}}

Fuerza centrípeta en mecánica relativista

En mecánica relativista el cociente entre la fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta, es diferente del cociente entre la fuerza tangencial y la aceleración tangencial. Esto introduce una diferencia fundamental con el caso newtoniano: la aceleración y la fuerza relativistas no son vectores necesariamente paralelos:

{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\frac {m\mathbf {v} }{\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]^{3/2}}}\left({\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\cdot \mathbf {a} \right)+{\frac {m\mathbf {a} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

De la relación anterior, se deduce que la fuerza y la aceleración sólo son paralelas en dos casos:

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} =0,\qquad \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {v} \|}

El primer caso se da cuando la aceleración y la velocidad son perpendiculares, cosa que sucede por ejemplo el movimiento circular uniforme. El segundo caso se da en un movimiento rectilíneo. En cualquier otro tipo de movimiento en general la fuerza y la aceleración no serán permanentemente paralelas.

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