Ecuaciones de primer grado. Una ecuación es una igualdad en la que aparecen letras, números y signos operacionales en sus miembros. También recibe el nombre de igualdad algebraica.
Las letras que aparecen en una ecuación reciben el nombre de «incógnita», mientras que los números que acompañan a las letras se llaman «coeficientes». Los términos que no llevan incógnita se llaman «términos independientes». El grado de la ecuación, vendrá dado por el mayor exponente de sus incógnitas.Las ecuaciones se clasifican en función del número de incógnitas que tienen y de su grado. Veamos algunos ejemplos:
| Ecuación | Número de incógnitas | Grado |
| 4x + y = 15 | Dos incógnitas ( x , y) | Uno |
|---|---|---|
| 100x + 50 = 2x3 | Una incógnita (x) | Tres |
| 3x2 + 9x + y = 4 | Dos incógnitas (x, y) | Dos |
Llamamos solución de una ecuación, al valor (o valores) que podemos asignar a las incógnitas, de modo que al sustituirlos en la ecuación, hacen que se verifique la igualdad. Resolver una ecuación, será hallar todas sus soluciones.
2. Ecuaciones equivalentes.
Dos ecuaciones se dice que son equivalentes, si ambas tienen la misma solución (o soluciones).
Dada una ecuación cualquiera, podemos obtener infinitas ecuaciones equivalentes a ella. Para ello, podemos realizar las siguientes operaciones:1. Si a los dos miembros de una ecuación les sumamos (respectivamente les restamos) el mismo término, obtenemos otra ecuación equivalente.
Ejemplo:2. Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos (respectivamente los dividimos) por un mismo número no nulo, obtenemos una ecuación equivalente.
Ejemplo:3. Resolución de ecuaciones de primer grado.
Una expresión muy utilizada en la resolución de ecuaciones es la de "despejar una incógnita". Esta expresión, significa llevar a cabo un proceso que permite dejar sola a la incógnita en uno de sus miembros. Para ello, vamos obteniendo ecuaciones equivalentes a la inicial, cada vez más sencillas, como hemos hecho en los ejemplos anteriores.
En la práctica, para poder despejar una incógnita, y con ello resolver una ecuación, con una mayor brevedad utilizaremos la regla de la transposición de términos, que nos indica que al "mover" un término de un miembro de la ecuación a otro, le cambiamos el signo.
A la hora de quitar paréntesis (si los hubiera), basta con multiplicar todos los términos que haya dentro del paréntesis por el número que esté delante del mismo. Es importante tener en cuenta el signo.Los pasos a seguir para resolver ecuaciones de primer grado, son los siguientes:
Quitamos paréntesis si los hay Agrupamos los términos que llevan incógnitas en un miembro de la ecuación, y todos los demás términos independientes en el otro miembro de la ecuación.Reducimos los términos semejantes Despejamos la incógnita, con lo que obtendremos la solución de la ecuación.
Ejemplo:
Ecuaciones de primer grado con denominadores.
En el caso en el que la ecuación de primer grado tenga denominadores, es necesario quitarlos en primer lugar. Para ello basta con multiplicar los dos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Tras ello, la ecuación se resolvería tal y como hemos indicado anteriormente.
Ejemplo:
4. Resolución de problemas.
A la hora de resolver un problema mediante ecuaciones, es conveniente seguir los siguientes pasos: Traducir el enunciado de lenguaje usual a lenguaje algebraico.Plantear la ecuación.Resolver la ecuación. Interpretar y comprobar el resultado obtenido.
Ejercicio 1. Traduce del lenguaje usual a lenguaje algebraico los siguientes enunciados, estableciendo las correspondientes ecuaciones:
a) Un número mas su mitad es igual a 105.
b) Un número mas su doble y mas su triple es igual a 240.
c) Un montón mas un séptimo de montón es igual a 19.
d) El perímetro de un cuadrado es igual a 148.
e) Un número menos una cuarta parte de dicho número mas diez unidades da 28.
f) La mitad del triple de un número es igual a ese número mas veinte unidades.
Ejercicio 2. En la ecuación 5x + Kx − 40 = 0, una solución es x = 2. Halla K.
Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a) 10x − 6 = 4x + 24
b) 25 − 4x = x + 50
c) 2x − x + 8 =12 − x
d) − 3x + 4 = 5x −11
Ejercicio 4. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis:
Ejercicio 6. El perímetro de una finca rectangular es 560 metros. Halla la medida de sus
lados sabiendo que el largo es el triple del ancho.
Ejercicio 7. Si en el bolsillo derecho del pantalón tengo una cantidad de dinero, y en el bolsillo izquierdo tengo doble, ¿cuánto dinero tengo en cada bolsillo, si en total llevo 60€.
Ejercicio 8. Alberto tiene el doble número de cromos que Ana y dos cromos más. Si en total Alberto tiene 12 cromos, ¿cuántos cromos tiene Ana?.
Ejercicio 9. Una persona comenta: “si sumo la mitad de mis años, más la sexta parte la cantidad que obtengo es igual al número de años que tengo más seis. ¿Cuántos años tengo entonces?”
Ejercicio 10. Hace doce años, la edad de Miguel era el cuádruplo de la edad de Isa.
Sabiendo que Miguel tenía 27 años más que Isa, halla las edades actuales de ambos.
Ejercicio 11. Un número es igual a la mitad de él mismo, más su cuarta parte y más
una unidad. ¿Cuál es ese número?.
Ejercicio 12. El perímetro de un triángulo isósceles mide 65 cm. La base de dicho triángulo es el lado desigual, que mide la mitad de cada uno de los lados iguales. Halla la longitud de cada uno de los lados.
Ejercicio 13. Pretendemos obtener dos números, sabiendo que uno de ellos es la séptima parte del otro y que la suma de ambos es 32. Halla dichos números.
Ejercicio 14. Luis tiene 10 años y su madre tiene 42 años. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad la madre sea el triple de la edad de Luis?
Ejercicio 15. Una cuerda es cortada en cuatro trozos. Uno de ellos mide la mitad de su longitud, otro mide la quinta parte, otro la décima parte y el último trozo mide 20 metros. Halla la longitud de la cuerda antes de ser cortada.