Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas

Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple solamente para ciertos valores de las letras. – Los miembros son las expresiones que aparecen a cada lado del signo de igualdad. — Los términos son los sumandos que forman los miembros. — Las incógnitas son las letras.

Ecuaciones
Elementos de una ecuación
En las ecuaciones distinguimos varios elementos:
• Incógnita: La letra (o variable) que figura en
la ecuación.
• Miembro: Es cada una de las dos expresiones
algebraicas separadas por el signo =.
• Término: Cada uno de los sumandos que
componen los miembros de la ecuación.
• Grado: Es el mayor de los exponentes de las
incógnitas, una vez realizadas todas las
operaciones (reducir términos semejantes)
Solución de una ecuación
La solución de una ecuación es el valor de la
incógnita que hace que la igualdad sea cierta.
• Si una ecuación tiene solución se llama
compatible, si no tiene se dice incompatible.
• Dos ecuaciones que tienen las misma soluciones
se dicen que equivalentes.

Distingue los elementos de esta
ecuación:
14x (19x 18) x 7x 1 + + =++
Incógnita: x
Primer Miembro: x + (19x+18)
Segundo miembro: 2
x 7x 1 + +
Términos: 14x, 19x, 18, x2
, 7x, 1
Grado: 2
x+2 = 9 Solución x=7
7+2=9 Es compatible
Un ecuación equivalente:
2x+4=18
Observa que para obtener una
ecuación equivalente se han
multiplicado los dos miembros por 2.
2(x+2) = 2·9 → 2x+4 = 18

Ecuaciones de primer grado
Solución
Una ecuación de primer grado con una incógnita es
una igualdad algebraica que se puede expresar en la
forma ax+b=0, con a#0.

La solución de una ecuación del tipo ax+b=c es:

x=-a/b

Aplicaciones. Resolución de Problemas
Las ecuaciones de primer grado se aplican a la
resolución de problemas.
Llamamos x al menor de los tres números.
Los números consecutivos son x+1, x+2
La ecuación es: x+x+1+x+2=249
Resolvemos: 3x + 3 = 249
3x = 246
x = 246/3 = 82
La solución: Los números son 82, 83 y 84

Resolver: -6x+4=15x
Pasamos la x la izquierda y lo que no
tiene x a la derecha
-6x-15x=-4
Hacemos operaciones:

-21x=4
Despejamos la x:
4 x 21

EJERCICIOS resueltos

Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 7x 5 9x 7 1
7 8
−+ −

=− Sol:
7x 5 9x 7
56 56 56·( 1) 8( 7x 5) 7(9x 7) 56
7 8
47
56x 40 63x 49 56 7x 47 x
7
−+ − + = − → − + + − =−
− − + + − =− → =− → =
b) 2x (x 1) 5x 2
4 6
−+ + = Sol:
x 1 5x 2
12 12 3(x 1) 2(5x 2)
4 6
7
3x 3 10x 4 7x 7 x 1
7
− + = → −= +
− = + →− = → = =−
−
c) 3x 7(x 1) 2x 1 2
6 3
−+ − = − Sol:
3x 7(x 1) 2x 1 6 6 6·2 3x 7(x 1) 2(2x 1) 12
6 3
7
3x 7x 7 4x 2 12 8x 7 x
8
−+ − = − → − + = −−
− − = − − →− =− → =
d) 2x 5 2x 8
x
3 7
− −+ − = Sol:
2x 5 2x 8
21 21 21x 7(2x 5) 3( 2x 8) 21x
3 7
14x 35 6x 24 21x x 59 x 59
− −+ − = → − −− + =
− + − = →− = → =−
e) 6x (x 8) 2x 17 x
6 3
−− −− = + Sol:
6x (x 8) 2x 17 6 6 6x 6x (x 8) 2( 2x 17) 6x
6 3
5x 8 4x 34 6x 3x 42 x 14
− − −− = + → − − =− − +
=− − + → =− → =−

La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 años
¿Cuál es la edad de cada uno?
Sol:
Edad del hijo:x 56 x 3x 56 4x 56 x 14
Edad del padre:3x 4
La edad del hijo es 14 años y la del padre es 42 años

= → = →= =

¿Cuántos litros de vino de 5€ el litro deben mezclarse con vino de 3€ el litro para
obtener 50 litros de vino cuyo precio sea de 4€ el litro?
Sol:
Litros de vino de 5 € 😡
litros precio
vino de 3 € el litro x 5x 5x 3(50 x) 200 2x 50 x 25 vino de 4 € el litro 50 x 3(50 x)
vino de 6 € el litro 50 200
Hay que mezclar 25 litros de 5 € con vino de 3 €

Ecuación de segundo grado
Solución
Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
ax2 + bx + c =0
Para resolverlas empleamos la fórmula:

Cómo resolver ecuaciones de segundo grado: fórmula maestra

: Ecuaciones incompletas Cuando b, c ó los dos son 0 estamos ante una ecuación de segundo grado incompleta. En estos casos no es necesario aplicar la fórmula sino que resulta más sencillo proceder de la siguiente manera:

• Si b=0 ax2 + c =0 ⇒ ax2 =-c ⇒ x2 =-c/a

a c x = ± −