DIVISIÓN SINTÉTICA. El teorema del residuo nos permite obtener el valor de para valores de x sin hacer la sustitución directa, pero esto requiere la división de un polinomio entre un binomio. El método para efectuar rápidamente esta división se conoce como división sintética. Así, al realizar la división de nuestro polinomio por el binomio .Realicemos la siguiente división entre los polinomios
Las expresiones las podemos reducir si se omiten las potencias de la variable y trabajamos sólo con los coeficientes, ya que es la posición que indica el grado del término, y lo que cambia son los coeficientes. Al hacer eso la división anterior toma la siguiente forma:
Si analizamos el proceso anterior notamos que el primer número de cada producto parcial se anula al hacer la sustracción. Pero esto no influye a los residuos parciales. Podemos omitir los términos del cociente y los primeros términos de los productos parciales. Haciéndolo, tenemos:
Como el polinomio divisor es de la forma
Para completar esta forma de dividir se escribe
Los números de la segunda línea se obtienen multiplicando por
Los números de la línea inferior se obtienen restando los números de la segunda línea, columna con columna, de los de la línea superior.
Si el multiplicador
El proceso anterior, llamado división sintética, es válido en los casos en los que el divisor es de la forma
1. Ordenamos el polinomio dividiendo así:
2. Escribimos los coeficientes del polinomio en orden, incluso los que valgan cero, en una línea horizontal.
3. Trasladamos el primer coeficiente del polinomio a la línea inferior.
4. Multiplicamos
5. Multiplicamos la suma anterior por
6. Repetimos lo dicho en
7. El último número de la linea inferior es el residuo, y los números, a su izquierda, son los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es inferior en uno al grado del polinomio dividiendo.
Ejemplo 1:
Solución:
Los coeficientes del dividiendo son:
El polinomio cociente es
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