División algebraica (polinomios)

División entre fracciones

División entre fracciones. Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x). En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

• Se aplica ley de signos

• Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)

• Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

• Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

En una división exacta de polinomios, el resto es igual a cero.

Dividir el polinomio D(x) entre el polinomio d(x) es hallar otro polinomio cociente c(x) tal que multiplicado por el divisor dé el dividendo:

En esta caso se dice que la división es exacta y se dice que dividendo D(x) es múltiplo del divisor d(x) y del cociente c(x). También se dice que d(x) y c(x) son divisiores del polinomio D(x).

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División entera de polinomios

Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):

En una división entera de polinomios, el resto es distinto de cero.

En las divisiones enteras (o inexactas), el dividendo D(x) no es múltiplo del divisor d(x), y siempre se va a cumplir la propiedad fundamental de la división:

El grado del polinomio resto R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor d(x).

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División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada monomio del polinomio por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.

Para comprobar que la división está bien hecha, miramos si se cumple la propiedad fundamental de la división:

Ejemplo:

D(x)=2x2+x−2D(x)=2×2+x−2

d(x)=xd(x)=x

Comprobamos ahora que se verifica la propiedad fundamental de la división:

D(x)=d(x)⋅c(x)+R(xD(x)=d(x)⋅c(x)+R(x

D(x)=2x2+x−2D(x)=2×2+x−2

d(x)⋅c(x)+R(x)=x⋅(2x+1)−2=(2x2+x)−2=2x2+x−2d(x)⋅c(x)+R(x)=x⋅(2x+1)−2=(2×2+x)−2=2×2+x−2

El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor:

En nuestro ejemplo:
D(x) = 2x² + x – 2 ⇒ Grado de D(x) = 2

d(x) = x ⇒ Grado de d(x) = 1

c(x) = 2x + 1 ⇒ Grado de c(x) = 2 – 1 = 1

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División de un polinomio por otro polinomio

Consideremos estos dos polinomios:

D(x)=x4−2x3−11x2+30x−20⇒DividendoD(x)=x4−2×3−11×2+30x−20⇒Dividendo

d(x)=x2+3x−2⇒Divisord(x)=x2+3x−2⇒Divisor

Para realizar la división de D(x) entre d(x) se procede del modo siguiente:
1. Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma creciente.

2. Se divide el primer monomio del dividendo  por el primer monomio del divisor. El resultado se pone en el cociente.

3. Se multiplica el cociente  por el divisor  y el producto obtenido se resta del dividendo:

(x2+3x−2)⋅x2=x4+3x3−2x2(x2+3x−2)⋅x2=x4+3×3−2×2

Como hay que restar x4+3x3+2x2x4+3×3+2×2 del  dividendo, le sumamos el opuesto:

−(x4+3x3−2x2)=−x4−3x3+2x2−(x4+3×3−2×2)=−x4−3×3+2×2

4. Se baja el término siguiento, 30x , y se divide, como en el apartado 2, el primer monomio del dividendo (-5x³) por el primer monomio del divisor (x²)
−5x3÷x2=−5x−5×3÷x2=−5x

y se coloca -5x en el cociente

5. Se multiplica -5x por el divisor (x² + 3x – 2) y el producto obtenido se resta del dividendo:

(x2+3x−2)⋅(−5x)=−5x3−15x2+10x(x2+3x−2)⋅(−5x)=−5×3−15×2+10x

Como hay que restar -5x³ – 15x² + 10x del dividendo, le sumamos el opuesto:

−(−5x3−15x2+10x)=5x3+15x2−10x−(−5×3−15×2+10x)=5×3+15×2−10x

6. Se baja el último término, -20, y se divide, como los apartados 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²)
6x² ÷ x² = 6, y se coloca 6 en el cociente

7. Se multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:

(x2+3x−2)⋅6=6x2+18x−12(x2+3x−2)⋅6=6×2+18x−12

Como hay que restar este polinomio del dividendo, le sumamos el opuesto:

−(6x2+18x−12)=−6x2−18x+12−(6×2+18x−12)=−6×2−18x+12

Como 2x no se puede dividir por x², la división se ha terminado.

Entonces obtenemos que el polinomio cociente es:

c(x)=x2−5x+6c(x)=x2−5x+6

y el polinomio resto es:

R(x)=2x−8R(x)=2x−8

Comprobamos que:

Grado c(x) = grado D(x) – grado d(x)

Grado c(x) = 4 – 2 =2

y que:

D(x)=d(x)⋅c(x)+R(x)D(x)=d(x)⋅c(x)+R(x)

D(x)=(x2+3x−2)⋅(x2−5x+6)+(2x−8)=x4−2x3−11x2+30x−20

Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

• Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

• Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.

• Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.

• Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.

• Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

• El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

• Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

• El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

• Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

• Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

• Se aplica ley de signos

• Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)

• Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

• Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

• Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

• Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.

• Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.

• Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.

• Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

• El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

• Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

• El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

• Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

• Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos: