Cuadrado de un binomio. El cuadrado de un binomio siempre es un trinomio. Sería de utilidad que memorice estos patrones para escribir cuadrados de binomios como trinomios. ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2. ( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2. Ejemplos: Eleve al cuadrado cada binomio. a) ( x + 4) 2. ( x + 4) 2 = x 2+ 2( x · 4) + 4 2.
En el estudio de la matemática, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta sin realizar la operación, lo que es lo mismo por simple inspección
Los productos notables son las multiplicaciones de tipo notable, en los capítulos presente y siguiente nos centraremos en los binomios potenciados, o sea los binomios elevados a alguna potencia.
Básicamente se escriben así:
Si efectuamos las operaciones nos queda:
Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye “a” o “b” o ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras (25xy3z2) seguirán exactamente la misma mecánica. Se puede acortar como:
Que se leen respectivamente
Ejemplo:
Lo importante en los productos notables es que no es necesario operar solo aprender a reconocerlos y sustituirlos.
El cuadrado de un binomio siempre es un trinomio. Sería de utilidad que memorice estos patrones para escribir cuadrados de binomios como trinomios.
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2
Eleve al cuadrado cada binomio.
a) ( x + 4) 2
( x + 4) 2 = x 2 + 2( x · 4) + 4 2
= x 2 + 8 x + 16
b) (2 y – 3) 2
(2 y – 3) 2 = (2 y ) 2 – 2(2 y · 3) + 3 2
= (2 y ) 2 – 2(6 y ) + 3 2
= 4 y 2 – 12 y + 9
c) (3 p – 2 q 2 )
(3 p – 2 q 2 ) = (3 p ) 2 – 2(3 p · 2 q 2 ) + (2 q 2 ) 2
= 9 p 2 – 2(6 pq 2 ) + 4 q 4
= 9 p 2 – 12 pq 2 + 4 q 4
Si los coeficientes de un trinomio ax 2 + bx + c satisficen la ecuación
entonces el trinomio es el cuadrado perfecto del binomio
Ejemplo 1:
Factorice, si es posible.
x 2 – 14 x + 49
Aquí, a = 1, b = – 14, y c = 49. Tenemos:
Así, el trinomio es un cuadrado perfecto:
Puede verificar esto usando el FOIL .
Ejemplo 2:
Factorice, si es posible.
9 w 4 + 12 w 2 + 4
Aquí, a = 9, b = 12, y c = 4. (Podemos tratar a w 2 como x , y no preocuparnos por la cuarta potencia.)
Así, el trinomio es un cuadrado perfecto:
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