Binomio de Newton

El binomio de Newton también llamado teorema binomial es un modelo de algoritmo que te permite obtener potencias a partir de binomios. Es la fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio.

Podemos observar que:

El número de términos es .

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia (también conocido como triángulo de Pascal).

Primeras quince filas del Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia

¿Cómo se construye el Triángulo de Pascal?

La construcción de este triángulo es muy sencilla ya que, exceptuando los números 1 que siempre están en los extremos, cada número es igual a la suma de los dos números que tiene justo encima.

Construcción del Triángulo de Pascal (fuente)

Pues resulta que este triángulo tiene muchas propiedades y que de él se desprenden un gran número de curiosidades matemáticas.

Pero no es el objeto de esta entrada hablar de todas ellas (lo dejaré para otra ocasión) sino, como dice su título, ver su relación con el binomio de Newton.

¿Qué es el binomio de Newton?

El binomio de Newton es una fórmula que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, empleando para ello los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. La fórmula general del binomio de Newton es la siguiente:

donde

Solo recordar que n! , k! y (n – k)! son factoriales.

Por ejemplo:

Pues bien, resulta que cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia respectiva del binomio de Newton:

En el desarrollo del binomio, los exponentes de van disminuyendo, de uno en uno, de a cero; y los exponentes de van aumentando, de uno en uno, de cero a , de tal manera que la suma de los exponentes de y de en cada término es igual a .

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.