Bimomio a cualquier potencia

Bimomio a cualquier potencia. Se comenzara colocando el número del triángulo de Pascal (todos los renglones comienzan con 1) multiplicando a el primer factor, encerrado en un paréntesis, elevado al mismo exponente que se encuentra elevado el binomio y multiplicando también al segundo factor, también en un paréntesis, elevado al exponente cero.

Generalización.

Como vimos anteriormente el cuadrado y el cubo de un binomio actúan de manera notable, pero cualquier binomio elevado a un exponente actúa de manera notable, veamos las características de estos binomios:

• El resultado de operar un binomio potenciado nos entrega un polinomio con una cantidad de factores igual al exponente más 1, si el exponente es 3 tendrá 4 factores, si el exponente es 6 tendrá 7 factores, y así sucesivamente.

• El factor de la izquierda aparece en el polinomio una cantidad de veces igual al exponente y su exponente varia de manera decreciente en el polinomio a partir del exponente del binomio hasta cero.

• El factor de la derecha aparece en el polinomio una cantidad de veces igual al exponente y su exponente varia de manera creciente en el polinomio a partir de cero hasta alcanzar al exponente del binomio.

• En cualquier factor del polinomio podemos sumar el exponente del factor de la izquierda y del factor de la derecha y nos dará igual al exponente del binomio.

• El factor numérico por el cual se multiplica cada factor del polinomio se define según el siguiente triángulo:

1
1     1
1     2     1
1     3     3     1
1     4     6     4     1
1     5     10     10     5     1
1     6     15     20     15     6     1
1     7     21     35     35     21     7     1
1     8     28     56     70     56     28     8    1
1     9     36     84     126     126     84     36     9     1
etc. etc.

 

Este triángulo es conocido como triángulo de Pascal, el cual no tiene final, y para su elaboración se dispone de dos pasos.

Añadir un uno al inicio y al final de cada renglón.

1. Sumar los dos números consecutivos que se encuentran justamente arriba en el renglón inmediatamente superior.

• El segundo número que aparece en el renglón de este triángulo es el mismo que se encuentra como exponente del binomio, y es este renglón el que se debe ocupar para el producto notable.

Ahora que hemos visto como se comportan los binomios notables se puede proponer un proceso adecuado para desarrollar cualquier binomio potenciado:

1. Se colocaran uno a uno los factores del polinomio tomando como multiplicador el número respectivo del renglón adecuado del triángulo de Pascal.
2. Se comenzara colocando el número del triángulo de Pascal (todos los renglones comienzan con 1) multiplicando a el primer factor, encerrado en un paréntesis, elevado al mismo exponente que se encuentra elevado el binomio y multiplicando también al segundo factor, también en un paréntesis, elevado al exponente cero.
3. Los siguientes factores también son la multiplicación del numero correspondiente del triángulo, por el primer factor elevado a un exponente menor en una unidad al que aparece en el factor anterior, y por el segundo exponente elevado a un exponente mayor en una unidad al de el factor anterior.
4. Se sigue el paso anterior hasta que el exponente de el primer factor sea cero y el de el segundo factor sea igual al de el binomio.
5. Se realizan las multiplicaciones indicadas.

Ejemplos:

Potencia n-sima de un binomio (Binomio de Newton)

Se trata de buscar una regla general para elevar un binomio a cualquier exponente.

Tenemos, por tanto:

Si queremos buscar la cuarta potencia:

Para ver si todos estos desarrollos siguen alguna regla general, vamos a poner sus coeficientes como números combinatorios.

Como vemos, van siguiendo la siguiente regla general:

De donde se desprenden las siguientes conclusiones:

1.-El desarrollo es un polinomio ordenado, homogéneo y completo en a y b, de grado igual al exponente del polinomio.

2.-Los coeficientes de los términos del desarrollo o “coeficientes binómicos” son números combinatorios, cuyo numerador es igual al exponente n y cuyos órdenes crecen desde 0 hasta n.

3.-El número de términos del desarrollo es igual a n + 1.

4.-La parte literal (lo que no es coeficiente) de los términos del desarrollo está formada por el primero de los monomios elevado a un exponente que es la diferencia entre el numerador y el orden del número combinatorio que lleva por coeficiente, y por el segundo monomio elevado a un exponente igual al orden de dicho número combinatorio.

Por tanto, si queremos hallar un término general que ocupe el lugar m + 1 del desarrollo sin necesidad de hacerlo todo él, podemos aplicar la siguiente fórmula:

Ejemplo: En el desarrollo de , escribir el término que ocupa el lugar 13 del mismo.

Relaciones entre los coeficientes binómicos

Son las siguientes:

1.-Los coeficientes de dos términos equidistantes de los extremos son iguales.

Esto se debe a que dichos coeficientes son números combinatorios de igual numerador y órdenes complementarios y por tanto son iguales.

De acuerdo con esto, basta calcular la mitad de los coeficientes.

2.-Cada coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término y dividiéndole por el exponente de b en el término que se calcula.

Triángulo de Tartaglia

Al estudiar los números combinatorios vimos una propiedad de éstos que decía: la suma de dos números combinatorios de igual numerador y órdenes consecutivos es igual a otro número combinatorio de numerador una unidad más y el orden del mayor.

Esto nos permite el cálculo rápido de los números combinatorios de base m conocidos los de base m -1 y, por tanto, los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio con exponente m, conocido el de desarrollo de la misma potencia con exponente m -1.

En este triángulo aritmético o de Tartaglia están representados los coeficientes de los desarrollos de las potencias de un binomio con exponentes sucesivos 1, 2, 3, 4, 5…, y como vemos, una vez escritas las oblicuas 1, 1, 1,… y según la propiedad antes enunciada, cada elemento es la suma de los dos que lleva encima. En él apreciamos también la igualdad de los coeficientes equidistantes de los extremos.

Problema de aplicación. El tercero y el cuarto término del desarrollo de  son iguales a 90 y 270. Halla x e y.

Dividiendo miembro a miembro:

valor que sustituido en una de las ecuaciones y resuelta ésta da como soluciones: