Angulos. Puede ser definido como la parte del plano determinada por dos semirrectas llamadas lados que tienen el mismo punto de origen llamado vértice del ángulo.La medida es considerada como la longitud del arco de circunferencia centrada en el vértice y delimitada por sus lados.
Los ángulos se pueden medir en grados.
Hay 360 grados en una vuelta completa (un círculo completo).
(También se pueden medir ángulos en radianes)
El símbolo de grado: °
Se usa un pequeño círculo ° después del número para indicar grados.
Por ejemplo 90° significa 90 grados
Un grado
1 grado
Así de grande es 1 grado
Un círculo completo
Un círculo completo son 360°
Medio círculo son 180°
(esto se llama ángulo llano)
Un cuarto de círculo son 90°
(y se llama recto)
¿Por qué son 360? Probablemente porque antiguamente había calendarios (por ejemplo el persa) que tenían 360 días por año, así que cuando miraban las estrellas veían que giraban alrededor de la Estrella Polar un grado cada día.
Midiendo grados
Muchas veces medimos grados usando un transportador:
Normalmente los transportadores miden de 0° a 180°
Nombres de los ángulos
Según aumenta, el nombre va cambiando
| Tipos de ángulos | Descripción |
| Ángulo agudo | un ángulo de menos de 90° |
|---|---|
| Ángulo recto | un ángulo de 90° |
| Ángulo obtuso | un ángulo de más de 90° pero menos de 180° |
| Ángulo llano | un ángulo de 180° |
| Ángulo reflejo o cóncavo | un ángulo de más de 180° |
Cuidado con las medidas
Este ángulo es obtuso. Este ángulo es reflejo.
Pero las líneas son las mismas… así que cuando midas y marques, ¡asegúrate de que sabes cuál de los ángulos necesitas!
Partes de un ángulo
La esquina se llama vértice
Y los lados rectos son rayos
Es la cantidad de giro entre los dos rayos.
Marcar ángulos
Hay dos maneras comunes de marcar un ángulo: 1. dándole nombre, normalmente una letra minúscula como a o b, o a veces una letra griega como α (alfa) o θ (theta) 2. o con las tres letras que definen, poniendo en medio la letra donde se encuentra (su vértice).
Ejemplo:
el ángulo «a» es «BAC», y el ángulo «θ» es «BCD»
Líneas paralelas
Dos líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia (también se llaman «equidistantes»), y nunca se encuentran. Recuerda:
Siempre a la misma distancia y nunca se encuentran.
Las líneas roja y azul son paralelas en estos dos casos:
Dos líneas paralelas apuntan en la misma dirección.
Pares
Cuando un par de líneas paralelas se cruzan con otra línea (a la que se llama transversal), podemos ver que se forman muchos ángulos iguales, como en este ejemplo:
Estos ángulos reciben nombres especiales por pares.
Comprobar si dos líneas son paralelas
Algunos de estos pares se pueden usar para comprobar si dos líneas son paralelas de verdad:
Si algún par de… Ejemplo:
<
| Si algún par de | Ejemplo |
| ángulos correspondientes son iguales, | o a = e |
|---|---|
| ángulos interiores alternos son iguales, | o c = f |
| ángulos exteriores alternos son iguales, | o b = g |
| ángulos interiores consecutivos suman 180° | d + f = 180° |
| … entonces las líneas son paralelas |
Estas líneas son paralelas, porque un par de ángulos correspondientes son iguales.
Estas líneas no son paralelas, porque hay un par interiores consecutivos que no suman 180° (81° + 101° =182°)
Estas líneas son paralelas porque un par de ángulos interiores alternos son iguales
suplementarios
Son suplementarios si suman 180 grados. Estos dos ángulos (140° y 40°) son suplementarios, porque suman 180°.
Fíjate en que al ponerlos juntos tenemos un ángulo llano.
Pero no hace falta que estén juntos.
Estos dos son suplementarios porque 60° + 120° = 180°
Si suman 180°, decimos que se «suplementan».
Suplementario viene del latín supplere, completar o «suplir» lo que se necesita.
no es «ángulo suplimentario» (con «i»)
una idea relacionada son los ángulos complementarios, que suman 90°
(¿Cómo recordar que complementarios son 90° y suplementarios son 180°? Por suerte la «C» va antes que la «S» en el abecedario y 90 va antes que 180. Así hago yo para acordarme.)
Complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (es recto).
Estos dos ángulos (40° y 50°) son complementarios, porque suman 90°.
Fíjate en que juntos hacen un ángulo recto.
Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos.
Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90°
Si los dos suman 90°, decimos que «se complementan».
Complementario viene del latín completum que significa «completo»… porque un recto se consideraba completo.
Triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios, porque hay 180° en un triángulo y recto tiene 90°.
interiores
Un ángulo interior dentro de una figura.
si sumas los ángulos interiores y exteriores sale de una línea recta, 180°.
Ángulos interiores de polígonos
Un interior es un ángulo dentro de una figura.
Los interiores de un triángulo suman 180°
En este triángulo es verdad!
Vamos a inclinar una línea 10° …
También funciona, porque aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°
Cuadriláteros (cuadrados, etc.)
(Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)
90° + 90° + 90° + 90° = 360°
80° + 100° + 90° + 90° = 360°
Un cuadrado suma 360°
Vamos a inclinar una línea 10° … ¡también suman 360°!
Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°
Porque en un cuadrado hay dos triángulos
Los ángulos interiores de este triángulo suman 180° (90°+45°+45°=180°)
y los de este cuadrado 360°
… ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!
Pentágono
La regla general
Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180° al total:
| Figura | Lados | Suma de los ángulos interiores | Forma | Cada ángulo |
| Triángulo | 3 | 180° | 60° | |
|---|---|---|---|---|
| Cuadrilátero | 4 | 360° | 90° | |
| Pentágono | 5 | 540° | 108° | |
| Hexágono | 6 | 720° | 120° | |
| Cualquier polígono | n | (n-2) × 180° | (n-2) × 180° / n |
Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°
Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°
Ángulos sobre una línea recta
A un lado de una línea recta siempre suman 180. Si dividimos una línea en dos y sabemos un ángulo podemos calcular el otro.
Ejemplo: si sabemos que un ángulo es de 45° ¿cuánto es el ángulo «a» ?
valdrá 180° − 45° = 135°
Este método vale cuando hay varios ángulos en un lado de una línea recta. Ejemplo: ¿cuánto es el ángulo «b» ?
En este diagrama el ángulo b es simplemente 180° menos la suma de los otros.
Suma de los ángulos conocidos = 45° + 39° + 24° = 108°
Ángulo b = 180° − 108°
Ángulo b = 72°
alrededor de un punto
Alrededor de un punto siempre suman 360 grados.
Los ángulos de arriba suman 360°
140° + 87° + 53° + 80° = 360°
Es por esto que si hay un ángulo que no conocemos siempre podemos calcularlo.
Ejemplo:
¿cuánto es el ángulo «c»?
Para calcular c tomamos la suma de los ángulos conocidos y restamos ese valor de 360°
Suma de los ángulos conocidos = 110° + 75° + 50° + 63°
Suma de los ángulos conocidos = 298°
Ángulo c = 360° − 298°
Ángulo c = 62°
llanos
Son llano si mide 180 grados
ángulo llano
Los llano cambia de dirección para apuntar en la contraria.
A veces la gente dice «¡has hecho un giro de 180 grados!» queriendo decir que has cambiado de opinión completamente.
Todos estos ángulos son llanos:
Agudo
Agudo es un ángulo que mide menos de 90°
Este es agudo
Todos estos también son agudos:
Acuérdate de fijarte en cuál de los dos ángulos es al que se refiere uno. Si el ángulo pequeño es menor que 90° entonces ese es agudo.
Ángulos rectos
Recto es un ángulo que mide exactamente 90°
Es recto
Fíjate en que en la esquina del ángulo hay un símbolo especial, una caja. Si ves ese símbolo, el ángulo es recto. No se suele escribir el 90°. Si ves la caja en la esquina ya te están diciendo que es un ángulo recto.
Todos estos ángulos son rectos:
Un ángulo recto puede estar en cualquier orientación o giro, lo que importa es que el interior sea 90°
Ángulos obtusos
Obtuso es el que mide más de 90° pero menos de 180°
Es obtuso
Todos estos también son obtusos:
Acuérdate de fijarte en cuál de las dos partes es a la que se refiere uno. El más pequeño entre las líneas es obtuso si mide entre 90° y 180°.
En realidad he usado los mismos en la página de ángulos reflejos. Los ángulos reflejos son los que están del otro lado. Si ves las dos páginas a la vez y sumas obtusos y reflejos que tengan el mismo dibujo, siempre sale 360°
Reflejos
Es reflejo es uno que mide más de 180° pero menos de 360°
Este ángulo es reflejo
Y todos estos también:
Fíjate en que he usado los mismos que en la página de ángulos obtusos. Los ángulos obtusos son los que están del otro lado. Cuando midas y escribas asegúrate de que estás usando el lado que te piden.
Si ves las dos páginas a la vez y sumas los ángulos obtusos y reflejos que tengan el mismo dibujo, siempre sale 360°
