Algebra Elemental. Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.
Carácter del algebra y su diferencia con la aritmética.
El concepto de la cantidad en algebra es mucho más amplio que en Aritmética.
En Aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte, para expresar un valor mayor o menor que este habrá que escribir un número distinto de 20.
En Algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representan el valor que nosotros le asignemos y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.
Notación Algebraica
Los símbolos usados en Algebra para representar las cantidades son los números y las letras.
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letra del alfabeto a, b c, d…..
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: a’, a’’, a’’’, que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.
Formulas
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras, de una regla o de un principio general.
Así la Geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura; luego llamamos A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula:
A=b x a
Representará de un modo general el área de cualquier rectángulo, pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con solo sustituir b y h en la formula anterior por sus valores en el caso dado. Así, si la base de un rectángulo es 3 m. y su altura 2 m. su área será:
A=b x h= 3 m. x 2 m.=6 m.2
El área de otro rectángulo cuya base fuera 8 m. y su altura 3½ m. seria;
A=b x h = 8 m. x 3½ m. = 28 m2
Signos del Algebra.
Los signos empleados en algebra son de tres clases:
Signos de operación.
En Algebrase verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética;
Que se indican con los signos siguientes:
El signo de la suma es +, que se lee más. Así a + b se lee “a más b”
El signo de la resta es -, que se lee menos, Así, a – b se lee “a menos b”
El signo de la multiplicación es x, que se lee multiplicado por. Así, a x b se lee “a multiplicado por b”
En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis.
Así a.b y (a) (b) equivalen a a x b.
Entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal el signo de multiplicación suele omitirse. Así abc equivale a a x b x c; 5xy equivale a 5 × x × y.
El signo de la división es ÷, que se lee dividido entre. Así a ÷ b se lee “a dividido entre b. también se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal. Así, m/n equivale a m ÷ n.
El signo de elevación a potencia es el exponente, que es un número pequeño colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor. Así
a3=aaa; b5 = bbbbb.
Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad.
Así, a equivale a a1; mnx equivale a m1n1x1.
El signo de raíz es √, llamado signo radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz.
Así, √a equivale a raíz cuadrada de a, o sea, la cantidad que elevada al cuadrado produce la cantidad a;
³√b equivale a raíz cubica de b, o sea la cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad b.
Coeficiente.
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.
Así, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces o sea 3a = a + a + a; en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b = b+b+b+b+b.
Estos son coeficientes numéricos.
En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab= b + b + b + b + b… a veces. Este es un coeficiente literal.
En el producto de más de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. Así, en el producto abcd, a es el coeficiente de bcd; ab es el coeficiente de cd; abc es el coeficiente de d.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Así, b equivale a 1b; abc equivale a 1abc.
Signos de relación
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:
=, que se lee igual a. Así, a = b se lee “a igual a b”.
>, que se lee mayor que. Así x + y> mayor que m se lee “x + y mayor que m”.
<, que se lee menor que. Así a < b + c se lee “a menor que b + c”.
Signos de agrupación
Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ] las llaves { } y la barra o vinculo —.
Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a – b] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a + b} ÷ {c – d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.
Modo de resolver los problemas en Aritmética y en Algebra
Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia entre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas, fundado este último en la notación algebraica y en la generalización que esta implica.
Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces la edad de A, que edad tiene cada uno?
Método aritmético;
Edad de A más edad de B = 48 años
Como la edad de B es 5 veces la de A tendremos:
Edad de A más 5 veces la edad de A = 48 años
O sea, 6 veces la edad de A = 48 años;
Luego, Edad de A= 8 años R.
Edad de B = 8 años x 5 = 40 años. R
Método algebraico
Como la edad de A es una cantidad desconocida la representamos por x.
Sea x = edad de A
Entonces 5x = edad de B
Como ambas edades suman 48 años, tendremos:
x + 5x = 48 años
6x = 48 años
Si 6 veces x equivale a 48 años, x valdrá la sexta parte de 48 años
O sea x = 8 años, edad de A R.
5x = 8 años x 5 = 40 años, edad de B, R.
Cantidades positivas y negativas
En algebra, cuando se estudian cantidades que puedan tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de la cantidad por medio de los signos + y -, anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo – a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).
Así, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo -.
Para expresar que una persona tiene S/ 100 de haber, diremos que tiene + S/ 100, y para expresar que debe S/ 100, diremos que tiene – S/100.
Los grados sobre cero del termómetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo -. Así, para indicar que el termómetro marca 10° sobre cero escribiremos + 10° y para indicar que marca (° bajo cero escribiremos – 8°.
El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto se designa con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o hacia debajo de un punto se representa con el signo -. Así, sí hemos recorrido 200 m. a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido 200 m. a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido + 200 m., y si recorremos 300 m. a la izquierda de un punto escribiremos – 300 m.
El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el tiempo transcurrido antes de Cristo, negativo. Así, + 150 años significa 150 años significa 150 años D. C. y – 78 años A.C.
En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la porción que se halla del suelo hacia arriba y con el signo – la porción que se halla del suelo hacia abajo. Así para expresar que la longitud del poste que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m., escribiremos + 15 m., y si la porción introducida en el suelo es de 8 m., escribiremos – 8 m.
Ls longitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo -; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa.
Por lo tanto, un punto de la Tierra cuya situación geográfica sea: + 45° de longitud y – 15° de latitud se hallara a 45° al este del primer meridiano y a 15° bajo el ECUADOR.
Elecciones del sentido Positivo.
La fijación del sentido positivo en cantidad que pueden tomarse en dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir, que podemos tomar como sentido positivo el que queramos; pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a este será el negativo.
Así tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la derecha de un punto, el camino recorrido a la derecha de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto será negativo pero nada nos impide tomar como positivo el camino recorrido a la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del punto será negativo.
Así, si sobre el segmento AB tomamos como positivo el sentido A hacia B el sentido de B hacia A sería negativo, pero si fijamos como sentido positivo de B hacia A, el sentido de A hacia B sería negativo.
No obstante, en la práctica se aceptan generalmente los sentidos positivos de que se trató en el sentido anterior.
Cero
Es la ausencia de cantidad. Así representar el estado económico de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas.
Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores que 0. Así, +3 es una cantidad que es tres unidades mayor que 0; +5 es una cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que -3 es una cantidad que es tres unidades menor que 0 y -5 es una cantidad que es cinco unidades menor que 0.
De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; así, +5 es mayor que +3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor la de menor valor absoluto: -3 es mayor que -5; -9 es menor que -4.
Ejercicios sobre Cantidades Positivas y Negativas
Teniendo S/130, pagó S/80; luego se quedó con S/50. Después hace un gasto de S/95 y como solo tiene S/50, incurre en una deuda de S/45. Por lo tanto, tiene actualmente – S/.45. R
Ejercicios 1:
A las 6 a.m. marca -4°. Como a las 9 a.m. ha subido 7°, contamos 7 divisiones de la escala desde -4° hacia arriba y tendremos 3° sobre cero (+3°); como desde esta hora hasta las 5 p.m. ha bajado 11°, contando 11 divisiones de la escala +3° hacia abajo llegaremos a -8°. Luego a las 5 p.m. la temperatura es de -8°. R
Ejercicios 2:
El móvil ha recorrido 40 m. a la derecha del punto A; luego su posición es +40 m., tomando como positivo el sentido de izquierda a derecha.
Entonces empieza a moverse de la derecha hacia a la izquierda (sentido negativo) a razón de 15 m. por segundo; luego en el primer segundo se acerca 15 m. al punto A y como estaba a 40 m. de este punto, se halla a 40-15=25 m. a la derecha de A; luego su posición es de +25 m. R.
En el tercer segundo recorre otros 15 m hacia A, y como estaba a 10m. a la derecha de A, habrá llegado al punto A (con 10 m.) y recorrido 5 m. a la izquierda de A. es decir , 10 – 15= -5m. Su posición ahora es -5 m. R.
En el 4° segundo recorre otros 15 m. más hacia la izquierda y como ya estaba a 5 m. a la izquierda de A, se hallara al cabo del 4° segundo a 20 m. a la izquierda de A, o sea -5 -15= -20 m; luego, su posición ahora es -20 m. R
Ejercicio 3
(Sentido positivo: de izquierda a derecha y de abajo a arriba).