Velocidad angular

May 28, 2017
Velocidad angular. La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc).

Velocidad angular en un movimiento plano

Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación.

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad. La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de rotación. Las unidades de velocidad angular son los radianes/segundo, de modo que su valor instantáneo queda definido por la derivada:

{\displaystyle \omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}}

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos:

  {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}

donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo). De modo que

  {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,}

Vector de una velocidad 

El vector velocidad obedece a la regla de la mano derecha.

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector axial paralelo al eje de rotación, cuyo módulo es el valor de la velocidad angular anteriormente definida, o sea

(1)  {\displaystyle {\omega }={d\theta \over dt}}

y cuya dirección coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al vector que indica la dirección del eje, y cuya dirección sea la definida por la regla anterior, tenemos

(2) {\displaystyle \mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}}

donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ, cuya dirección está definida por la regla del tornillo. Llamando et y en a los vectores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma

(3) {\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{t}=r\omega (\mathbf {e} _{n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _{n})\times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega } }

de modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad ω queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [8] puede escribirse en la forma

(4) {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }

donde  {\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}} es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación.

Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación.

Es importante destacar que el «vector» velocidad no es un vector polar, sino un pseudovector o vector axial. Por esta razón, en teoría de la relatividad, donde el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, no puede ser representado por ningún tetravector, razón por la cual en teoría de la relatividad la velocidad angular se representa por un 2-tensor antisimétrico, que tiene que satisfacer las leyes de transformación adecuadas bajo las transformaciones de Lorentz. En la siguiente sección se dan algunos detalles adicionales, sobre por qué la velocidad angular se puede representar por un tensor antisimétrico.

Tensor de una velocidad 

La forma matricial para representar la velocidad, puede ser deducida a partir de matrices de rotación. Cualquier vector tridimensional que gira alrededor de un eje con velocidad angular  {\displaystyle {\vec {\omega }}} (de acuerdo a las definiciones anteriores) satisface:

  {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }

Puede introducirse ahora el tensor velocidad asociado con la velocidad angular anterior  {\boldsymbol \omega } como

{\displaystyle \mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}

Este tensor antisimétrico  {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {W} (t)} actúa como si  {\displaystyle \scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )} fuera un operador:

  {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)}

Dada una matriz de rotación  {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {W} (t)}, se puede obtener en cada instante el tensor velocidad W como se muestra a continuación, se cumple que:

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r} }

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz  {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} (t)} cuyas tres columnas son tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

( {\displaystyle {\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)}

Y por tanto la velocidad angular se puede definir simplemente como:

{\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R} ^{T}(t)}

Otra forma de obtener directamente la velocidad de una rotación es derivando la relación:

  {\displaystyle \mathbf {R} (t)\mathbf {R} ^{T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R} ^{T}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0} }

De donde se obtiene que la matriz anti simétrica definida como:

  {\displaystyle \mathbf {W} (t):={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R} ^{T}(t)=-\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)}

Coincide con la definición dada antes para el tensor velocidad angular. Puede demostrarse que cualquier grupo uniparamétrico de matrices de rotación puede obtenerse como la curva integral de la siguiente ecuación diferencial (*) cuya solución se puede expresar como exponencial de una matriz como:

  {\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int _{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)}

La definición de la velocidad como tensor permite generalizar el concepto de velocidad angular a un espacio euclídeo de dimensión  \scriptstyle \mathbb{R} ^{n} para n > 3.

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