Teorema del residuo
El teorema del residuo nos ayuda a encontrar el residuo que resulta de dividir un polinomio entero y racional entre un binomio de la forma nx−anx-a sin realizar la división.
Un polinomio se dice que es entero si ninguno de sus términos tiene letras en el denominador y es racional si ninguno de sus términos tiene raíz inexacta.
El teorema del residuo nos dice que la división de un polinomio entero y racional entre un binomio de la forma nx−anx-a se obtiene sustituyendo xx por abab, es decir, se iguala a cero el divisor nx−anx-a, se despeja xx y se sustituye en el polinomio.
En esta sección contamos con 2 videos, en los cuales resolvemos ejercicios que se presentan comúnmente en este tema. Los ejercicios que se resuelven son los siguientes:
Ejemplos del Teorema del residuo
Encuentra el residuo sin realizar la división de:
x5−2x3+2x−4x5-2×3+2x-4 entre x−2x-2 y x4−8x2+4x+1x4-8×2+4x+1 entre 2x+32x+3
Encuentra el residuo sin realizar la división de:
x3−9x3-9 entre x+3x+3 ;
a2−2a+3a2-2a+3 entre a−1a-1 ;
x4−x3+3x4-x3+3 entre x−2x-2 ;
n4+n3−n2+1n4+n3-n2+1 entre n+4n+4
12y3−21y+9012y3-21y+90 entre 3y−3
Generalmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo.
Considere la función polinomial f ( x ) = x 2 – 8 x + 6. Divida el polinomio entre el binomio x – 2.
Podemos realizar la división en cualquier método.
Método 1: División larga
.
El residuo es -6.
Método 2: División sintética
El residuo es -6.
Ahora compare el residuo de -6 en f (2).
Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio es dividido entre el binomio x – 2. Esto ilustra el teorema del residuo.
Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x – a , el residuo es la constante f ( a ), y 
, donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que el grado de f ( x ).
En otras palabras, el dividendo es igual al cociente por el divisor mas el residuo.
teorema del residuo
- Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x – a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).Por ejemplo, si f(x) = x2 + x – 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) – 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:
f(x) = (x-2)(x+3) + 4
Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).
El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) – 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:
f(x) = (x-1)(x+2)
Como se muestra, (x-1) es un factor.
