Potencias

Potencias. Las potencias son una manera abreviada de escribir una multiplicación formada por varios números iguales. Son muy útiles para simplificar multiplicaciones donde se repite el mismo número. Las potencias están formadas por la base y por el exponente.El producto de factores iguales se expresa convenientemente por símbolos, así por ejemplo x • x • x se escribe como x³, el resultado de la multiplicación o producto se llama la potencia de los factores.

En este caso “x³” es la tercera potencia de “x”, el numero x se llama base y al pequeño numero 3 se le llama exponente (este se escribe a la derecha y arriba de la base), el exponente es el numero de veces que se multiplica la base.

Ejemplos:

¾ • ¾ • ¾ = (¾)³ = 3³/4³

y • y = y² a la segunda potencia se le llama cuadrado así y² es el cuadrado de y

En los ejemplos podemos apreciar la diferencia que existe en los términos con diferente exponente haciendo notar que un término nunca será igual a otro con la misma parte literal y con diferente exponente, por lo tanto dos términos con diferente exponente no pueden sumarse.

¿Y para multiplicar potencias de la misma base?

Como una potencia denota una multiplicación sucesiva de la misma base la multiplicación de dos productos de igual base implica solamente la extensión de la multiplicación así:

Extendiéndolo a la regla: toda multiplicación de factores de la misma base es igual a la base elevado a la suma de los exponentes de los multiplicandos.
Ejemplos:

Todo término que encerado en un paréntesis que este elevado a un exponente se considera que todo el contenido es multiplicado por si mismo el numero de veces que diga el exponente así:

(8)² = (8)(8) = 64

(5x) = (5x)(5x) = 25×2

(2x³ – y)² = (2x³ – y)(2x³ – y) = 4×6 – 4x3y + y2

(¾)³ = (¾)(¾)(¾) = 3³ = 27
4³ 64

Se llama potencia a una expresión de la forma $a^{n}$ , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

${\begin{array}{ll}a^{1}=&a\\a^{2}=&a\times a\\\vdots &\vdots \\a^{n}=&\underbrace {a\times \cdots \times a}_{{n{\text{ veces}}}},\end{array}}$

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

a^{n}\cdot a^{m}=a^{{n+m}}

Ejemplos:

9^{3}\cdot 9^{2}=9^{{3+2}}=9^{5}

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

{(a^{m})}^{n}=a^{{m\cdot n}}

Debido a esto, la notación $a^{{b^{c}}}$ se reserva para significar $a^{{(b^{c})}}$ ya que ${(a^{b})}^{c}$ se puede escribir sencillamente como $a^{{bc}}\,$ .

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

(-a)^{n}=\;\;\;\;\;a^{n}

si n es par.

(-a)^{n}=-(a^{n})

si n es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que $c={\frac {1}{a}}$ , entonces este se denota por $a^{{-1}},$ y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

${\begin{array}{l}a^{{-1}}={\frac {1}{a}}\\a^{{-n}}={\frac {1}{a^{n}}}\end{array}}$

Observación: $a^{{-n}}=(a^{{-1}})^{n}=\underbrace {{\frac {1}{a}}\times \cdots \times {\frac {1}{a}}}_{n}={\frac {1}{\underbrace {a\times \cdots \times a}_{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}.$

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor, esto es:

{\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{{m-n}}

Ejemplo:

{\frac {9^{5}}{9^{3}}}=9^{{5-3}}=9^{2}

Potencia de exponente 0

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{{n-n}}=a^{0}\,

El caso particular de $0^{0}\,$ no está definido y es conocido como una indeterminación.

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}

Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo $a^{{-1}}$ , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:

0^{1}=0

0^{n}=\underbrace {0\times \cdots \times 0}_{n}=0.

Exponente racional

La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo $x^{n}=a$ , de manera que $x={\sqrt[ {n}]{a}}$ , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para todo n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.

Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

$a^{{{\frac {1}{n}}}}={\sqrt[ {n}]{a}}$

Observación

\left(a^{{{\frac {1}{n}}}}\right)^{n}=a^{{{\frac {1}{n}}\cdot n}}=a^{1}=a.

En general para las fracciones se define que:

${\begin{array}{ll}a^{{{\frac {n}{m}}}}&={\sqrt[ {m}]{a^{n}}}\\a^{{-{\frac {n}{m}}}}&={\frac {1}{a^{{{\frac {n}{m}}}}}}\end{array}}$

Relación

a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}}}=a^{{{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}}\Leftrightarrow

{\frac {n_{1}}{m_{1}}}={\frac {n_{2}}{m_{2}}}

Propiedades

a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}}}\cdot a^{{{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}}=a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}+{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}},

\left(a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}}}\right)^{{{\frac {n_{2}}{m_{2}}}}}=a^{{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot {\frac {n_{2}}{m_{2}}}}},

(a\cdot b)^{{{\frac {n}{m}}}}=a^{{{\frac {n}{m}}}}\cdot b^{{{\frac {n}{m}}}}.

Exponente real

La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:

Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales $q_{n}$ que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión $a^{{q_{n}}}$ que se escribe como:

$a^{b}=\lim _{{n\to \infty }}a^{{q_{n}}}$

Nótese que las sucesivas aproximaciones de a^b tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.

Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función exponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define

f(x)^{{g(x)}}=e^{{g(x)\ln f(x)}}

De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los números reales positivos R₊, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.

Propiedades

a^{b}\cdot a^{c}=a^{{b+c}},

\left(a^{b}\right)^{c}=a^{{b\cdot c}},

(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}.

Exponente complejo

Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así

Resultados de potenciación

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción (véase productos notables), es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

(a+b)^{m}\ \neq \ a^{m}+b^{m}

(a-b)^{m}\ \neq \ a^{m}-b^{m}

No cumple la propiedad conmutativa:

a^{b}\ \neq \ b^{a}

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

a^{{b^{c}}}=a^{{(b^{c})}}\neq (a^{b})^{c}=a^{{(b\cdot c)}}=a^{{bc}}

Potencia de base 10

Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos:

{\begin{array}{lcl}10^{-6}&=&0,000001\\10^{-5}&=&0,00001\\10^{-4}&=&0,0001\\10^{-3}&=&0,001\\10^{-2}&=&0,01\\10^{-1}&=&0,1\end{array}}

{\begin{array}{lcr}10^{0}&=&1\\10^{1}&=&10\\10^{2}&=&100\\10^{3}&=&1.000\\10^{4}&=&10.000\\10^{5}&=&100.000\\10^{6}&=&1.000.000\end{array}}

Representación gráfica

La representación gráfica de una función potencia f(x) = xⁿ con exponente natural n par tiene una simetría similar a la de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0) y la curva es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.

La representación gráfica de una función potencia f(x) = xⁿ con exponente natural n impar es una curva con dos ramas unidas en el punto (0, 0), que posee simetría rotacional alrededor de este. El punto de inflexiónprecisamente se encuentra en el punto (0, 0), la curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Dichas curvas son continuas y derivables en todo su dominio de definición.

Gráfico de una parábola

y=x^{2}\,

Gráfico de

y=x^{3}\,

Potencias