División sintética

DIVISIÓN SINTÉTICA. El teorema del residuo nos permite obtener el valor de para valores de x sin hacer la sustitución directa, pero esto requiere la división de un polinomio entre un binomio. El método para efectuar rápidamente esta división se conoce como división sintética. Así, al realizar la división de nuestro polinomio por el binomio .Realicemos la siguiente división entre los polinomios $4x^3-7x^2+5x-2\,\, y\,\, x-3$

Las expresiones las podemos reducir si se omiten las potencias de la variable y trabajamos sólo con los coeficientes, ya que es la posición que indica el grado del término, y lo que cambia son los coeficientes. Al hacer eso la división anterior toma la siguiente forma:

Si analizamos el proceso anterior notamos que el primer número de cada producto parcial se anula al hacer la sustracción. Pero esto no influye a los residuos parciales. Podemos omitir los términos del cociente y los primeros términos de los productos parciales. Haciéndolo, tenemos:

Como el polinomio divisor es de la forma $x-r$ , o se le puede reducir a ella, el primer coeficiente del divisor es $1$ y, por lo dicho antes, al hacer los productos parciales por tal coeficiente y restar del residuo parcial, estos términos se anulan. Por tanto, se puede eliminar a $1$ del divisor y trasladar los residuos parciales hacia arriba. Conservando la columna, quedando organizados así:

Para completar esta forma de dividir se escribe $4$ , primer coeficiente del dividiendo, en el primer lugar de la línea inferior. De este modo, se tiene:

Los números de la segunda línea se obtienen multiplicando por $-3$ , el número de la línea inferior de la columna precedente.

Los números de la línea inferior se obtienen restando los números de la segunda línea, columna con columna, de los de la línea superior.

Si el multiplicador $-3$ se remplaza por $3$ , su opuesto, los números de la segunda línea se pueden sumar con los de la línea superior para obtener los de la línea inferior. Haciendo, el cambio queda:

El proceso anterior, llamado división sintética, es válido en los casos en los que el divisor es de la forma $x-r$ y se puede resumir así:

1. Ordenamos el polinomio dividiendo así:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_1x+a_0$ Si el polinomio no es completo, escribimos coeficiente cero a los términos que hacen falta.

2. Escribimos los coeficientes del polinomio en orden, incluso los que valgan cero, en una línea horizontal.

3. Trasladamos el primer coeficiente del polinomio a la línea inferior.

4. Multiplicamos $a_n$ por $r$ y escribimos el producto en la segunda línea, debajo del coeficiente $a_{n-1}$ . Adicionamos el producto a $a_{n-1}$ y el resultado lo escribimos en la línea inferior.

5. Multiplicamos la suma anterior por $r$ y el producto lo escribimos en la segunda línea, debajo del coeficiente $a_{n-2}$ . Adicionamos el producto a $a_{n-2}$ y escribimos el resultado en la linea inferior.

6. Repetimos lo dicho en $4$ y $5$ . Hasta donde sea posible.

7. El último número de la linea inferior es el residuo, y los números, a su izquierda, son los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es inferior en uno al grado del polinomio dividiendo.

Ejemplo 1:

Dividir $2x^4-19x^2-75\, entre\, x-4$