Algebra

Algebra

es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.). A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general.4 El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis. Página del libro Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala, de Al-Juarismi. La palabra «álgebra» proviene del vocablo árabe الجبر al-ŷabar (en árabe dialectal por asimilación progresiva se pronunciaba [alŷɛbɾ] de donde derivan los términos de las lenguas europeas), que se traduce como ‘restauración’ o ‘reponimiento, reintegración’. Deriva del tratado escrito alrededor del año 820 d.C. por el matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi), titulado Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Muchos de sus métodos derivan del desarrollo de la matemática en el islam medieval, destacando la independencia del álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y de la aritmética. Puede considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en aritmética, pero con objetos matemáticos no-numéricos. El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre:

• Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas.
• Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.

El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos y, mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.

El álgebra en la antigüedad

Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica, que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Los matemáticos de la Antigua Grecia introdujeron una importante transformación al crear un álgebra de tipo geométrico, en donde los «términos» eran representados mediante los «lados de objetos geométricos», usualmente líneas a las cuales asociaban letras. Los matemáticos helénicos Herón de Alejandría y Diofanto así como también los matemáticos indios como Brahmagupta, siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, si bien la Arithmetica de Diofanto y el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta se hallan a un nivel de desarrollo mucho más alto. Por ejemplo, la primera solución aritmética completa (incluyendo al cero y soluciones negativas) para las ecuaciones cuadráticas fue descrita por Brahmagupta en su libro Brahmasphutasiddhanta. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollarían métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el pádre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.

Influencia árabe

Los babilonios y Diofanto utilizaron sobre todo métodos especiales «ad hoc» para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental; resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas sin el simbolismo algebraico, números negativos o el cero, por lo que debe distinguir varios tipos de >jab. El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.

Edad Moderna

Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numerosas innovaciones, y se alcanzan resultados que claramente superan los resultados obtenidos por los matemáticos árabes, persas, indios o griegos. Parte de este estímulo viene del estudio de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Las soluciones para ecuaciones polinómicas de segundo grado ya era conocida por los matemáticos babilónicos cuyos resultados se difundieron por todo el mundo antiguo. El descrubrimiento del procedimiento para encontrar soluciones algebraicas de tercer y cuarto orden se dieron en la Italia del siglo XVI. También es notable que la noción de determinante fue descubierta por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Entre los siglos XVI y XVII se consolidó la noción de número complejo, con lo cual la noción de álgebra empezaba a apartarse de cantidades medibles. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. También Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre y numerosos matemáticos del siglo XVIII hicieron avances notables en álgebra.

Siglo XIX

El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad. Los trabajos de Gauss generalizaron numerosas estructuras algebraicas. La búsqueda de una fundamentación matemática rigurosa y una clasificación de los diferentes tipos de construcciones matemáticas llevó a crear áreas del álgebra abstracta durante el siglo XIX absolutamente independientes de nociones aritméticas o geométricas (algo que no había sucedido con el álgebra de los siglos anteriores).

Notación algebraica

Consiste en que los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.

Signos de operación

En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a × b.

Signos de relación

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”.

Signos de agrupación

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) – c] ⋅ d} indica que al resultado de la suma de a + b debe restarse c y el resultado de esto multiplicarse por d.

 

Signos y símbolos más comunes

Los signos y símbolos son utilizados en el álgebra — y en general en teoría de conjuntos y álgebra de conjuntos — con los que se constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad «=», por ejemplo:

x + 2 = 6Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6) Así que una ecuación es como una afirmación «esto es igual a aquello»

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir «esta cosa de aquí»!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.

Un número solo se llama una constante.
Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).
Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como «esa expresión sólo tiene dos términos», o «el segundo término es constante», o incluso «¿estás seguro de que el coeficiente es 4?»

¡Exponente!

El exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación. Ejemplos:
82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2z = y × y × z
Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

Ejemplo: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125

• En palabras: 5³ se puede leer «5 a la tercera potencia», «5 a la potencia 3» o simplemente «5 al cubo»

Polinomio

Un ejemplo de un polinomio: 3×2 + x – 2

Un polinomio puede tener constantes, variables y los exponentes 0,1,2,3,… Y se puede combinar haciendo sumas, restas y multiplicaciones… ¡pero no divisiones!

polinomio
Monomio, binomio, trinomio Hay nombres especiales para polinomios con 1, 2 o 3 términos:

Términos similares

«Términos similares» son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2) son los mismos. En otras palabras, términos que «se parecen». (Nota: los coeficientes pueden ser distintos) Ejemplos:

Términos Por qué son «similares»

flecha 7x x -2x porque las variables son todas x

flecha (1/3)xy2 -2xy2 6xy2 porque las variables son todas xy2 Puedes sumar los términos similares para hacer un solo término:

Ejemplo: 7x + x = 8xTérminos no similares

Si no son términos similares, simplemente se les llama «términos no similares»:

Términos Por qué no son «similares»

flecha -3xy -3y 12y2 ← estos son términos no similares (xy, y e y2 son todos diferentes)
Introducción al álgebra

 

• Balancear cuando sumas y restas (animación)
• Introducción al álgebra – Multiplicación
• Orden de las operaciones – PEMDAS
• Sustitución
• Ecuaciones y fórmulas
• definiciones Definiciones básicas de álgebra
• Exponentes
• ¿Qué es un exponente?
• Exponentes negativos
• El recíproco en álgebra
• Raíces cuadradas, Raíces cúbicas y Raíces n-ésimas
• Simplificar raíces
• Exponentes fraccionarios
• Leyes de los exponentes
• Multiplicar y dividir variables con exponentes
• Simplificar
• Expandir (quitar paréntesis)
• Multiplicar negativos
• Leyes asociativas, conmutativas y distributiva
• Multiplicar en cruz
• chico con álgebra
• chica con álgebra
• Polinomios
• ¿Qué es un polinomio?
• Sumar y restar polinomios
• Multiplicar polinomios
• Expresiones racionales
• Conjugar
• Racionalizar el denominador
• Ecuaciones lineales
• Ecuación de una línea recta
• Explora el gráfico de una línea recta
• Coordenadas cartesianas
• Ecuaciones cuadráticas
• ¿Qué es una ecuación cuadrática?
• Derivación de la fórmula cuadrática
• Solucionador de ecuaciones cuadráticas
• Completar el cuadrado
• Funciones
• Definición de una función
• Sucesiones y series
• Sucesiones y series
• Sucesiones – Encontrar la regla Más… √2
• Números irracionales
• Menú de decimales
• Menú de fracciones
• Grado de una expresión

 

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